OEF Systèmes différentiels physiques.
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 10 exercices sur la modélisation de problèmes physiques par des systèmes différentiels linéaires.
Solutions salines en cascade
bidons sont remplis initialement (pour
) de
,
d'une solution saline et contiennent alors
,
de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note
Am ,
les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant
.
:
:
Am ,
xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,
?
Calculer l'instant
où le premier récipient contient la même quantité de sels que le récipient numéro
où la quantité de sels est maximale dans le récipient numéro
(si
dépasse , rentrer ).
Solutions salines en circuit circulaire
bidons sont remplis initialement (pour
) de
,
d'une solution saline et contiennent alors
,
de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note
Am ,
les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant
.
:
:
Am ,
xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,
Calculer un vecteur propre non nul de la matrice A à coefficients entiers pour la valeur propre 0. Sachant que la limite de
est ..., calculer les limites des autres concentrations.
Solutions salines et oscillations
bidons sont remplis initialement (pour
) de
,
d'une solution saline et contiennent alors
,
de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note
Am ,
les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant
.
:
:
Am ,
xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,
Solutions salines et vecteurs propres
bidons sont remplis initialement (pour
) de
,
d'une solution saline et contiennent alors
,
de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note
Am ,
les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant
.
:
:
Am ,
xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,
Calculer un vecteur propre non nul de la matrice A à coefficients entiers pour la valeur propre 0. Sachant que la limite de
est ..., calculer les limites des autres concentrations.
Solutions salines en circuit fermé
bidons sont remplis initialement (pour
) de
,
d'une solution saline et contiennent alors
,
de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note
Am ,
les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant
.
:
:
Am ,
xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,
Solutions salines
bidons sont remplis initialement (pour
) de
,
d'une solution saline et contiennent alors
,
de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note
Am ,
les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant
.
:
:
Am ,
xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,
Calculer les dérivées des fonctions
en
.
Mélange de solutions (modélisation)
bidons sont remplis initialement (pour
) de
,
d'une solution saline et contiennent alors
,
de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note
Am ,
les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant
.
:
Mélange de solutions (modélisation) II
bidons sont remplis initialement (pour
) de
,
d'une solution saline et contiennent alors
,
de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin. On note
Am ,
les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l'instant
.
:
Solution à volume constant
xrange -1.1,3.1 yrange -1.1,3 polyline black, 2,0,0,0,0,2,2,2,2,0 segment 0,1.5,2,1.5,black fill 1,1,skyblue segment 0.9,2,0.9,2.5,black segment 1.1,2,1.1,2.3,black segment 1.1,2.3,3.1,2.3,black segment 0.9,2.5,3.1,2.5,black segment 1.1,0,1.1,-1,black segment 1.3,0,1.3,-0.8,black segment 1.3,-0.8,3.1,-0.8,black segment 1.1,-1,3.1,-1,black fill 2.3,2.4,skyblue fill 1.5,-0.9, skyblue text black,0.9,0.9,medium, m^3 text black,1.8,2.8,medium, g/m^3 text black,1.8,2.2,medium, m^3/s text black,1.8,-0.4,medium, m^3/s arrow 2.3,2.4,1.5,2.4,20,black arrow 1.5,-0.9,2.3,-0.9,20,black
Un bidon contient à l'instant
un volume de liquide de
. Il est alimenté avec un débit de
d'un mélange contenant
de sels. Il sort en même temps
du mélange supposé homogène. On note
la quantité de sels en grammes dans le bidon à l'instant
.
Quelle quantité de sels en
entre-t-il à l'instant t ? Quelle quantité de sels en
sort-il à l'instant t ?
En effet, il entre
et il sort
de sels à l'instant t. L'équation différentielle vérifiée par
est
=
-
Solution et EDO
xrange -1.1,3.1 yrange -1.1,3 polyline black, 2,0,0,0,0,2,2,2,2,0 segment 0,1.5,2,1.5,black fill 1,1,skyblue segment 0.9,2,0.9,2.5,black segment 1.1,2,1.1,2.3,black segment 1.1,2.3,3.1,2.3,black segment 0.9,2.5,3.1,2.5,black segment 1.1,0,1.1,-1,black segment 1.3,0,1.3,-0.8,black segment 1.3,-0.8,3.1,-0.8,black segment 1.1,-1,3.1,-1,black fill 2.3,2.4,skyblue fill 1.5,-0.9, skyblue text black,0.9,0.9,medium, m^3 text black,1.8,2.8,medium, g/m^3 text black,1.8,2.2,medium, m^3/s text black,1.8,-0.4,medium, m^3/s arrow 2.3,2.4,1.5,2.4,20,black arrow 1.5,-0.9,2.3,-0.9,20,black
Un bidon contient à l'instant
un volume de liquide de
. Il est alimenté avec un débit de
d'un mélange contenant
de sels. Il sort en même temps
du mélange supposé homogène. On note
la quantité de sels en grammes dans le bidon à l'instant
.
Quelle quantité de sels en
entre-t-il à l'instant t ? Quelle quantité de sels en
sort-il à l'instant t ?
En effet, il entre
et il sort
de sels à l'instant t. L'équation différentielle vérifiée par
est
=
-
et le bidon a un volume de
. Calculer l'instant
où le bidon est plein.
. Calculer l'instant
où le bidon s'est vidé de moitié.
Quelle est alors la concentration de sels ?
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Description: collection d'exercices sur les systèmes différentiels linéaires. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra,analysis, differential_equation, differential_system, ode, diagonalization, modelling