Surfaces paramétrées

Guide

Etude rapide des surfaces paramétrées, calcul de l'aire d'une surface, flux d'un champ de vecteurs à travers une surface. Formules de Stokes-Green.

Documents

J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)

Surfaces

Introduction

Les surfaces peuvent être données de plusieurs manières différentes.
Si vous connaissez les quadriques, vous pouvez regarder les exercices suivants (c'est aussi un moyen de voir à quoi elles ressemblent) :

Définition

Définition : Une surface paramétrée dans est une application C1 d'un domaine de dans :
Si les composantes de la fonction vectorielle f sont f = (f1,f2,f3), on écrit aussi :
On note quelquefois les composantes de f( u , v) par x(u , v), y(u , v), z(u , v), ce qui donne les équations
De même que pour les courbes paramétrées, une surface paramétrée est fournie avec son paramétrage.
On peut aussi ne regarder que l'image de l'application f ; c'est un sous-ensemble de qu'on appelle aussi surface dans (à condition qu'elle ne soit pas dégénérée ...).

Exemple fondamental

Exemple : Soit g une fonction de dans . On lui associe la surface paramétrée d'équation
Mais on aurait aussi pu aussi lui associer la surface paramétrée d'équation
ou
Exercice : Paramétrer une surface . Réciproquement, lorsqu'on peut exprimer une des coordonnées en fonction des deux autres, on trouve facilement un paramétrage de la surface.

Exemples : parallélogramme, cône, sphère, cylindre ...

Exemple : Paramétrer l'intérieur d'un parallélogramme s'appuyant sur deux vecteurs indépendants de : V1 = (a1 , b1 , c1) et V2 = (a2 , b2 , c2) au point A = (a , b , c).
Solution
On note ici les deux paramètres u et v : de manière compacte,
avec
ou
si A est le point de coordonnées (a , b , c) et V1 et V2 les vecteurs (a1 , b1 , c1) et (a2 , b2 , c2).
Le Tracé pour v1 = (3,4,3) et v2 = (-3,2,-1).
Exemple : Paramétrer la surface de d'équation x = y2 + z2
Solution
On note ici les deux paramètres theta et r :
avec .
Tracé
Exemple : Paramétrer la sphère de d'équation x2 + y2 + z2 = 1
Solution
On note ici les deux paramètres varphi et theta, ils sont bien sûr liés aux coordonnées sphériques:
avec .
Tracé
Exemple : Paramétrer le cylindre de d'équation x2 + y2 = a2.
Solution
On note ici les deux paramètres theta et z, ils sont bien sûr liés aux coordonnées cylindriques :
avec .
Tracé pour a=2.
Exemple : Paramétrer le paraboloïde hyperbolique de d'équation x2 + y2 = z2.
Solution
Une paramétrisation d'un paraboloide elliptique d'équation implicite z = x2+y2 :
avec u > 0 et .
Tracé

Quelques surfaces paramétrées à tracer

Hélicoïde :
En coordonnées cylindriques :
Tracé

Tore :
avec A et a des constantes. En coordonnées cylindriques :

Tracé

Surface d'Enneper :

Tracé

Sans nom :
Cette surface a comme équation en coordonnées sphériques


Tracé pour .

Plan tangent

Pour (u0 , v0) in calD, le vecteur de est de composantes
.
On le note aussi D1(f)(u0,v0) ou Du(f)(u0,v0).
De même, peut être noté .
Définition : Si est une surface paramétrée C1, (u0,v0) in calD, si M0 est le point de la surface de paramètre (u0 , v0) : M0 = f(u0,v0) et si et sont deux vecteurs de linéairement indépendants, on appelle plan tangent au point M0 = f(u0 , v0) de paramètres (u0 , v0) le plan engendré par ces deux vecteurs et passant par le point M0.

Un tel point est appelé point régulier.

Définition : On dit que est lisse si et sont indépendants pour tous paramètres (u0,v0).

Ainsi, si est lisse, le plan tangent existe pour tous les paramètres. La condition d'indépendance se traduit par
.

Calculer le plan tangent

Pour trouver l'équation de ce plan, on peut utiliser les méthodes équivalentes suivantes : Le lien entre les deux méthodes est donné par la formule
.

Pour tester qu'un vecteur V est dans le plan tangent, on peut vérifer que son produit scalaire avec N est nul ou, ce qui revient au même que le déterminant de V, D1(f)(u0,v0) et D2(f)(u0,v0) est nul.

Exercices :

Vecteur normal

Définition : Le vecteur normal orienté à la surface paramétrée au point de paramètre (u0 , v0) est donné par
.
Définition : Le vecteur normal unitaire orienté à la surface paramétrée est donné par
.

Remarque : l'indépendance des deux vecteurs D1(f)(u0 , v0) et D2(f)(u0 , v0) permet de montrer que localement, la surface ressemble au graphe d'une fonction z = g(x,y), comme dans le cas des courbes paramétrées.
Les deux vecteurs D1(f)(u0, v0) et D2(f)(u0, v0) sont deux vecteurs du plan tangent en M0 = f(u0, v0). Ainsi, le vecteur normal est normal au plan tangent.

Exemples de calcul de vecteurs normaux

Vecteur normal à un parallélogramme
Le parallélogramme est décrit par
avec
Le vecteur normal est
et ne dépend bien sûr pas du point. Sa norme est

Vecteur normal au cône

Le cône d'équations z2 = x2 + y2 admet comme paramétrisation
On prend donc comme paramètres theta et z.
On a alors
On a donc

Vecteur normal à la sphère

Le vecteur normal à la sphère paramétrée par
est

= =
Le carré de la norme de N est égal à . Donc
.
En particulier, N est nul si l'angle varphi est égal à , c'est-à-dire au pôle. Il y a pourtant un plan tangent en ce point, mais il ne peut pas être défini avec la recette précédente avec ce paramétrage.

Vecteur normal au cylindre

Le cylindre d'axe O z et de rayon a est d'équations cylindriques x2 + y2 = a2 et admet comme paramétrisation
On prend donc comme paramètres theta et z.
On a alors
On a donc
Le vecteur normal est parallèle au plan x O y.

Vecteur normal à un

La surface z = x2 + y2 admet comme paramétrisation
On prend donc comme paramètres r > 0 et .
On a alors
On a donc

Vecteur normal à une surface de révolution

Une surface de révolution d'axe O z d'équations cylindriques r = h(z) avec h une fonction d'une variable réelle admet comme paramétrisation
On prend donc comme paramètres z et theta.
On a alors
On a donc

Exercices

Exercices :

Exercice : Paramétrisation et vecteur normal

Aire et intégrales de surface

Aire

Définition : Soit une surface paramétrée. On appelle élément de surface
Définition : Soit un domaine borné. Soit une surface paramétrée telle que f soit injective. L'aire de est donnée par la formule
La "justification" de cette formule est la suivante :
Théorème : Soient V1 et V2 deux vecteurs de linéairement indépendants. Alors, est orthogonal au plan engendré par V1 et V2 et sa norme est égale à l'aire du parallélogramme formé à partir de V1 et V2.

Exemples de calcul d'aires

Intégrale de surface

Définition : Si est une surface paramétrée par (u,v) in {D} mapsto f(u,v) in , on note
.
On définit l'intégrale de surface d'une fonction g: subset to RR comme

.
On peut démontrer que cette définition est bien indépendante du paramétrage choisi.
Exercice : Intégrale de surface d'une fonction

Flux à travers une surface

Définition : Soit F un champ vectoriel sur défini sur un ouvert U de . Soit une surface paramétrée contenue dans U et donnée par le paramétrage
L'intégrale de surface (ou flux) de F est donnée par
Ainsi, est ici une notation pour et est le produit scalaire de F et de .
Si est le vecteur normal unitaire, on a
Théorème : Le flux d'un champ à travers une surface ne dépend que du paramétrage de la surface à condition de conserver l'orientation, c'est-à-dire que le jacobien
Soit un changement de variables C1 d'un ouvert U de sur un ouvert V de , c'est-à-dire une application C1 bijective de U sur V telle que le déterminant
soit non nul. On dit encore que Psi est un difféomorphisme C1.
La matrice précédente est appelée matrice jacobienne.
Ce déterminant est appelé jacobien.
du changement de variables soit strictement positif.

Exemple de flux

Prenons pour une surface décrite par une équation explicite z = g(x,y). Soit F = (P, Q, R) un champ sur , alors
Prenons pour une portion de sphère unité : , Soit F = (P , Q , R) un champ sur , alors
= =
= + +
=

Exercices de calcul de flux

Exercices : Calculons le flux du champ F(x,y,z) = (x, y, 0) à travers la sphère paramétrée comme auparavant.
Ce champ est parallèle au plan x O y. On a
=
= =
Exercices :

Propriétés du flux

Théorème : Le flux d'un champ à travers une surface ne dépend que de la composante normale du champ à la surface, c'est-à-dire de la projection du champ sur la droite normale au plan tangent.
Exemple : Si F(M) est un vecteur du plan tangent en M pour tout point M de la surface, son flux à travers la surface est nulle.
Exercice : Propriétés du flux ou de la circulation . Cet exercice demande d'utiliser la propriété précédente. Attention, il alterne avec un exercice qui parle de circulation.

Théorèmes fondamentaux

Bord d'une surface

On généralise la formule de Green-Riemann (surfaces/courbes) à des surfaces qui ne sont plus planes.
Définition : Soit un domaine de de bord une courbe . Soit une surface paramétrée donnée par . On appelle bord de l'image de par f. On le note . On suppose que le bord de vérifie les hypothèses du théorème de Green et en particulier est bien orienté. On prend sur le bord de l'orientation qui se déduit de celle de .
Exemples