Gradient
Objectifs
- Mettre l'accent sur différentes manières de représenter
graphiquement les fonctions de deux variables
- Considérer les dérivées partielles des fonctions de plusieurs variables du point de vue plus géométrique du gradient.
- Insister sur l'aspect "approximation linéaire" de la différentielle.
Documents
J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)
Guide
Exemples concrets de fonctions de plusieurs variables
Dans la vie, ce sont les fonctions d'une variable qui sont rares et les fonctions de
plusieurs variables fréquentes !
Pour se faciliter la vie, celui qui modélise prétend que certaines sont des paramètres
et d'autres des variables.
Ce qui "signifie" qu'il va faire comme si certaines des variables étaient constantes.
Donnons quelques exemples :
Exemples :
-
la température, la pression comme fonction de la position sur une carte :
fonction de deux variables
x et
y
-
l'altitude en un point d'une carte : fonction de deux variables
x et
y
-
la température, la pression en chaque point d'une pièce (en trois dimensions) :
fonction de trois variables
x,
y et
z
-
le volume d'une boîte en fonction de la hauteur, de la largeur et de la profondeur : fonction de trois variables
H et
L et
l.
-
votre moyenne sur WIMS en fonction du temps et de la feuille d'exercice :
fonction de deux variables
t et
n (mais ici heureusement la variable
n est une variable dite discrète (un entier) et pas continue (dans
)
On parle en physique de champ scalaire :
scalaire vient du fait que l'image est contenue dans les scalaires
, champ vient de ce que le domaine de définition est dans
.
Exercices :
Champ scalaire
Dérivées partielles
Exercices de calcul de dérivées partielles
On notera les dérivées partielles d'une fonction d'une des manières suivantes :
Si
f est une fonction de deux variables (x,y), la dérivée partielle de
f
par rapport à
x est notée indiféremment
De même,
Ensuite :
,
,
Avant de commencer, il faut savoir calculer des dérivées partielles,
nous proposons donc d'abord ici des exercices de technique.
Exercices :
-
Calcul de dérivées partielles
-
Calcul de dérivées partielles secondes
-
Dérivées partielles de composés de fonctions
-
Dérivées partielles secondes de composés de fonctions
Gradient
Définition du gradient
Soit
une fonction de 4 variables. On lui
associe un champ de vecteurs appelé
champ de gradient
et noté grad
f ou
f :
(x
1, x
2, x
3, x
4)
f (x
1, x
2, x
3, x
4)= (D
1 f(x
1, x
2, x
3, x
4), D
2 f(x
1, x
2, x
3, x
4), D
3 f(x
1, x
2, x
3, x
4), D
4 f(x
1, x
2, x
3, x
4))
avec
.
En posant
M=(x1, x2, x3, x4)
,
grad
f(M)=(D1 f(M), D2 f(M), D3 f(M), D4 f(M)).
Exercice
Autres notations :
- en utilisant la base canonique (
e1,
e2,
e3,
e4
)
f =
D
1 f e
1 + D
2 f e
2 + D
3 f e
3 + D
4 f e
4
-
En physique, on utilise la notation suivante :
ux=e1,
uy=e2,
uz=e3 ce qui donne les formules suivantes
dans
dans
ou en mettant les scalaires après les vecteurs contrairement à nos habitudes
dans
dans
.
Dérivée directionnelle
Soit
u un vecteur de
et
M0 un point de
: on a alors
Ce qui donne une interprétation de grad
:
Soit
u un vecteur unitaire de
. On appelle
dérivée directionnelle de
f dans la direction
u au point
M0 (ou encore la
dérivée partielle de
f
dans la direction
u au point
M0) le nombre
.
.
Propriété :
La dérivée directionnelle est
de norme maximale dans la
direction du gradient et la direction dans laquelle la fonction
f croît le plus vite
est la direction du gradient.
Démonstration
Si
u et
v sont deux vecteurs d'angle
s, on a l'égalité
Ainsi,
et l'égalité a lieu si et seulement si les vecteurs
u et
v sont colinéaires.
En particulier, si
u est un vecteur unitaire,
et
est égal à
(et donc maximal) si
u est colinéaire au gradient de
f en
M0.
Exercices
Exercice :
Dérivées directionnelles
Exercice :
Gradient et croissance de la fonction
Approximation
Approximation linéaire
Définition :
Soit
f une fonction de deux variables
(
x,
y) définie au voisinage d'un point
M0 = (
x0,
y0). On dit que la fonction affine
est une
approximation linéaire ou plus exactement affine
de
f au point
M0 = (
x0,
y0) si l'on peut écrire
avec des fonctions
et
tendant vers 0
lorsque
.
De manière équivalente, on peut aussi dire que la limite de
tend vers 0 lorsque
.
On dit que l'on a linéarisé
f au voisinage de
M0 :
pour certains problèmes, on "peut" remplacer
f par son approximation linéaire.
Lorsqu'on regarde la surface
S d'équation
z = f(x, y), si
a + b x + c y est
l'approximation affine de
f en
M0, l'équation
z = a + b x + c y définit un plan
dans
qui est le plan tangent à la surface
S en
M0. Cela sera revu dans le chapitre sur les
surfaces.
Exercice
Trouver l'approximation linéaire d'une fonction
Differentiabilité
Définition :
Soit
f une fonction de 2 variables
(x, y) définie au voisinage d'un point
M0 = (x0, y0). On dit que
f est différentiable
si
f admet une approximation linéaire.
Théorème : Si
f est
une
fonction de classe
On dit qu'une fonction définie sur un ouvert de
2 est
de classe
C1 si elle est continue et admet
des dérivées partielles premières continues.
dans un voisinage de
M0,
f est différentiable et son approximation linéaire
est donnée par
f(M0) + D1(f)(M0)(x - x0) + D2(f)(M0)( y - y0)
Autrement dit :
où
est une fonction de
(
x,
y) définie au voisinage de
(
x0,
y0)
telle que
.
où
et
sont des fonctions de
(
x,
y) définies au
voisinage de
(
x0,
y0) telle que
,
.
Avec des notations différentes que l'on utilisera par la suite,
f(x, y)=D1(f)(x0,y0)(x-x0)+ D2(f)(x0,y0)(y-y0)
où
est une fonction de
(
x,
y) définie au voisinage de
(
x0,
y0) telle que
.
où
est une fonction de
M définie au voisinage de
M0 telle que
.
Estimation d'erreurs
On rencontre couramment en physique le problème suivant : On a une quantité
A, fonction connue des quantités
a,b... Ayant fait des mesures des quantités
a,b, avec une certaine incertitude, on se demande avec quelle incertitude est connue
A.
Mathématiquement, on dispose des objets suivants
-
Une fonction
f=A
- Un point
M0 :
M0= (x0,y0), c'est le point qu'on mesure
- Un rectangle
R : par exemple
les nombres
r1 et
r2 représentent les erreurs maximales de mesure.
- Un point
M1 : un point
(x1,y1) du rectangle, c'est le point
que l'on est en train de mesurer, on ne le connaît donc pas très précisément
On calcule
-
L'approximation numérique au point
M0 :
f(x0,y0)
- Les dérivées partielles de
f :
D1(f)(x,y),
D2(f)(x,y)
sur le rectangle
R, ou encore ce qui revient au même
la différentielle
df = D1(f)(