Déterminant
Guide
Le texte suivant introduit les déterminants en en donnant
une construction puis donne quelques propriétés.
On espère compléter ultérieurement la partie
déterminant et systèmes linéaires.
Déterminant des matrices
Définition de l'application déterminant
Soit
Mn,m(K) l'ensemble des matrices à coefficients dans un corps
K (égal à
ou
) ayant
n lignes et
m colonnes,
Mn(K) l'ensemble des matrices carrées d'ordre
n à coefficients dans
K. On note -
In la matrice identité d'ordre
n
-
A = ((aij)) où
i est l'indice des lignes et
j l'indice
des colonnes
-
A1, ..., An ses
n colonnes :
A=(A1, ..., An).
Théorème : Il existe une
unique application
, appelée
déterminant vérifiant les propriétés suivantes
-
(D1) pour tout
j=1,..., n, pour tous
a et
b appartenant à
K,
pour
A1,..., An et
Bj des vecteurs colonnes,
+
.
-
(D2) s'il existe un indice
j tel que
,
.
-
(D3)
.
La propriété
(D2) est vraie même si les colonnes ne sont pas à côté l'une de l'autre, nous le démontrons à partir des propriétés telles qu'elles ont été énoncés ici :
(D'2) s'il existe des indices
j et
k tels que
,
.
Conséquences immédiates de la définition
-
Echanger deux colonnes consécutives change le signe du déterminant.
Démonstration
d'après
(D2).
=
=
+
+
d'après
(D1),
=
d'après
(D2).
Donc,
- S'il existe deux indices
j et
k différents tels que
Aj = Ak = B,
Si deux colonnes sont égales ou proportionnelles, le déterminant est nul.
Démonstration
En échangeant successivement la
i-ième colonne avec
sa voisine de manière à l'amener à la place
j-1, on se retrouve dans
le cas où les deux colonnes égales sont côte à côte (d'après la
propriété précédente, le signe a peut-être changé).
- si
,
Echanger deux colonnes consécutives change le signe du déterminant.
Démonstration
On réapplique la même astuce que dans le premier cas, en utilisant
et en développant.
- si
On ne change pas le déterminant
en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des
autres colonnes.
Démonstration
+
d'après
(D1),
d'après
(D2).
- Si
où
B est mis à la place de la
m-ième colonne.
Démonstration
=
=
+...+
+...+
d'après
(D1)
=
d'après
(D2)
=
Petits cas
Pour
n=1, on a nécessairement
.
Pour
n=2, on a nécessairement
det
= det
=
det
+
det
=
a det
+ c det
=
a ( det
+
det
)
+ c (det
+det
)
=
a ( 0 + d) det
+
c (
b det
+ 0)
=
ad -bc
Développement par rapport à une colonne
Soit
Aij la matrice extraite de
A obtenue en enlevant la
i-ième ligne
et la
j-ième colonne. Alors,
Idée de la démonstration
Faisons la démonstration pour le développement par rapport à la première colonne.
On écrit
avec
Ei le vecteur colonne formé de
0 sauf à la
i-ième ligne
où il y a
1. On a grâce à
(D1)
Regardons le terme
.
En faisant des manipulations sur les colonnes du type
remplacer
Ak par
Ak - aik Ei, on obtient que
où
est la colonne
Ak où on remplace le
i-ième élément par
0.
On remarque alors que l'application qui à une matrice
B d'ordre
n-1 associe
avec
la matrice colonne obtenue à partir de
B en rajoutant un
0
à la place
i, vérifie les deux premières propriétés du déterminant
et vaut
sur l'identité
In-1. Donc
.
Exemple :
Dans l'exemple ci-dessus, par rapport à quelle colonne a-t-on développé ?
=
Démonstration de l'existence et de l'unicité
Supposons par récurrence que l'existence et l'unicité de
det sont démontrés sur
Mn-1(K) avec
n>1. La fonction déterminant sur
Mn-1(K) est notée en vert : det
Suposons l'existence de det sur
Mn(K)
et montrons son
unicité.
-
Fixons deux entiers
i et
j. A une matrice
B=(bij) de
Mn-1(K),
on attache la matrice
B(i,j) obtenue en rajoutant une colonne à la place
i et une ligne à la place
j formées de 0
sauf à leur intersection où l'on met 1 :
Par exemple
:
La fonction
B 
(-1)i+j det
B(i,j) satisfait toutes les propriétés
pour le déterminant sur
Mn-1(K) et lui est donc
égale : pour D1 et (D2), faites-le ! le signe garantit la condition pour (D3), car d'après (D1), si on part de la matrice Id(i,j), après échanges de colonnes voisines, le coefficient 1 arrive sur la diagonale et le signe est devenu 1.
Le faire par exemple pour
Id(2,1)=
-
Par
(D1) et
(D3) (voir
conséquences immédiates
), det
B(i,j)) ne change pas si on met n'importe quel coefficient
à la
i-ième ligne hors la
j-ième colonne.
-
Si la fonction det existe pour
Mn,n(K), on trouve par
(D1) la formule pour tout
indice de ligne
i entre
1 et
n :
det
A =
(-1)i+j aijdet
Aij.
où
Aij est la matrice extraite, c'est-à-dire la matrice
A privée de sa
i-ième
ligne et de sa
j-ième colonne.
Le membre de droite est fait avec des déterminants d'ordre
n-1 dont on sait qu'ils existent
et sont uniques par hypothèse de récurrence. Cela démontre l'unicité de det sur
Mn,n(K).
Démontrons
l'existence de det sur Mn(K).
Définissons une fonction sur
Mn(
K) provisoirement appelée
deti par la formule
deti
A =
(-1)i+j aijdet
Aij .
(développement par rapport à la
i-ième ligne) :
Elle vérifie
(
D1) :
justification
Soit
k l'indice de la colonne où l'on a remplacé
Ak par
aAk+
bBk et
la matrice extraite correspondant à la matrice
(
A1,...,
Bk,...
An). Dans la somme définissant
deti
A,
aik est remplacé par
aik+
bik et
Aik ne change pas ; par contre
pour
j différent de
k,
aij ne change pas et
det
Aij
est remplacé par
det
Aij +
det
en utilisant la propriété
(
D1) pour
det.
Elle vérifie
(D2) :
justification
Soit l'indice
k tel que les colonnes d'indice
k et d'indice
k+1 soient égales.
Les matrices extraites
Aij intervenant dans la formule
ont toutes deux colonnes égales et sont donc nulles
sauf les matrices extraites
Aik et
Ai k+1 qui sont égales :
deti
A =
(-1)i+k aikdet
Aik+
(-1)i+k+1 aikdet
Aik+1=0 .
Elle vérifie
(D3) :
justification
deti
In=(-1)j+j<