OEF Géométrie 2D
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 36 exercices sur la géométrie plane,
les isométries du plan et les groupes d'isométries du plan.
Les trois versions de l'exercice Propriétés des isométries concernent les types suivants :
- Translation, symétrie centrale, réflexion ;
- Translation, symétrie centrale, réflexion, symétrie glissée ;
- Translation, symétrie centrale, réflexion, symétrie glissée, rotation.
Axe d'une symétrie glissée
Voici quatre points
,
,
,
tels que la distance de
à
soit égale à la distance de
à
. Il existe une symétrie (ou une symétrie glissée)
telle que
et telle que
.
Cliquer sur l'axe de glissage de cette symétrie.
![]()
C'est une symétrie
.
C'est une symétrie glissée. Dessiner le vecteur de translation en partant du point
Birapport
Quel est le birapport des quatre points
?
En effet le birapport des quatre points
est égal à .
Soit une droite
telle que le point
soit le barycentre de
et
(le dessin n'est donc pas conforme). Ecrire le point
comme barycentre des points
et
=
*
+
*
La somme des poids devra être égale à 1.
Barycentres dans un triangle (Ceva)
Dans la figure suivante, le point
est le barycentre de
et de
. Le point
est le barycentre de
et de
.
Alors,
est le barycentre de (
,
) et de (
,
).
Changement de repère affine
On considère dans
les points
,
et
. Donner les coordonnées du point
dans le repère
+
Aires de triangle II
Voici deux triangles. Le premier est d'aire . Calculer l'aire de l'autre : ![]() | ![]() |
| Aire = | Aire =
|
Composé rotation - réflexion
On désire calculer le composé
de la rotation
de centre
et d'angle degrés et de la réflexion d'axe
. On écrit
comme le composé de deux réflexions d'axe
et
avec
la droite parallèle à
et passant par le centre de la rotation
.
.
On a
L'isométrie
est une translation
L'isométrie
est une translation
et
est le composé d'une symétrie et d'une translation. C'est une symétrie glissée.
- La droite
est tracée en vert, tracer la droite
.
- Tracer la droite
- Cliquer sur la projection de
sur la droite
- Tracer l'axe de glissage de
Conjugué harmonique
Placer sur la droite
un point
tel que le birapport de
,
,
,
soit
(on dit que
est le conjugué harmonique de
par rapport à
et
). On tracera une droite issue de
dont l'intersection avec la droite
est ce point
.
Isométries du plan : décomposition
Le motif entouré d'un cercle est le transformé du motif centré en
par une isométrie
du plan affine.
L'isométrie
est
.
On peut écrire l'isométrie
comme le composé d'une translation
et d'une
rotation
de centre
symétrie
dont l'axe
passe par
.
L'angle de la rotation est
(compris entre 0 et
, il s'agit d'angles "remarquables").
L'équation de la droite
est
.
Le vecteur de la translation est
.
Rotation : produit de réflexions
On désire décomposer la rotation
de centre
et d'angle degrés comme le composé de deux réflexions
.
La droite
est tracée en rouge, tracer la seconde droite
.
Calcul dans le groupe diédral
Soit
la rotation de centre 0 et d'angle
et soit
la réflexion orthogonale par rapport à la droite
. Soit
. ![]()
Alors
est une
.
La
s'écrit
. C'est la réflexion orthogonale par rapport à la droite de numéro
.
s'écrit
. C'est la rotation d'angle
.
Consigne : l'exposant de
doit être un entier positif inférieur à l'ordre de la rotation
.
L'angle doit être compris entre 0 et
Sous-groupes de symétrie
Le dessin de gauche
a comme groupe de symétrie le groupe
d'un composé des éléments :
.
Dans le dessin de gauche
, on a brisé la symétrie. Quel est son sous-groupe de symétrie
?
Regarder si les
pour
ont tous le même groupe de symétrie : le sous-groupe trouvé
est-il distingué dans
?
Droites invariantes
Cochez toutes les propriétés vérifiées par l'isométrie
du plan affine quand
est .
Devinez la nature d'une isométrie affine
Le point
est l'image de
par une isométrie affine. Quelle est la nature de cette isométrie ?
,
,
,
Si vous ne voyez pas le point
, faites bouger le point
.
Pions 1
Voici des pions. La distance entre deux pions est la distance entre leurs centres.
- Y-a-il deux pions à la distance
?
- Combien de pions sont-ils à la distance
du pion violet ?
Les petits carrés sont de longueur 1.
Pions 2
Voici des pions. La distance entre deux pions est la distance entre leurs centres.
- Y-a-il deux pions à la distance
?
- Combien de couples de pions sont-ils à la distance
l'un de l'autre ?
Les petits carrés sont de longueur 1.
Pions 3
Voici des pions. La distance entre deux pions est la distance entre leurs centres.
Donner toutes les distances possibles entre deux pions.
Ecrire sqrt(a) pour la racine carrée de
.
Les petits carrés sont de longueur 1.
Pions 4
Voici des pions. La distance entre deux pions est la distance entre leurs centres. Cliquer sur un pion qui est à distance
du pion violet.
Les petits carrés sont de longueur 1.
Symétrie glissée
Soit
la symétrie d'axe la droite
d'équation
et
la translation de vecteur
.
L'isométrie
est une
.
Dans la décomposition canonique de la symétrie glissée
L'équation de l'axe de la symétrie
l'équation de l'axe de la symétrie
est
le vecteur de la translation est
Symétrie glissée 0
Soit
la symétrie d'axe la droite
d'équation
et
la translation de vecteur
.
L'isométrie
est une
.
Dans la décomposition canonique de la symétrie glissée
L'équation de l'axe de la symétrie
l'équation de l'axe de la symétrie
est
le vecteur de la translation est
Groupes de symétrie
Quel est le groupe de symétrie de la figure ?
Son groupe de symétrie
une symétrie axiale ;
c'est un groupe
d'ordre
Composé et nature
Dans le plan affine, le composé d'une et d'une peut être une
On suppose que les isométries précédentes ne sont pas égales à l'identité.
Combien d'isométries
Combien d'isométries envoient la figure A sur la figure B ?
Parallèles et translation
Voici deux droites parallèles d'équation
,
.
Trouver une translation qui envoie la droite
sur la droite
.
A chacun son nom
Mettre en correspondance les polygones réguliers et leur nom :
A chacun son nombre de côtés
Mettre en correspondance les polygones réguliers et leur nombre de côtés
Propriétés des isométries (1)
Dans le plan affine euclidien, l'isométrie
est .
Cochez toutes les propriétés vérifiées par
.
Propriétés des isométries (2)
Dans le plan affine euclidien, l'isométrie
est .
Cochez toutes les propriétés vérifiées par
.
Propriétés des isométries (3)
Dans le plan affine euclidien, l'isométrie
est .
Cochez toutes les propriétés vérifiées par
.
Reconnaître une isométrie
Dans le plan affine euclidien, on considère une isométrie
qui vérifie la ou les propriétés suivantes :
L'isométrie
peut être :
Cochez tous les types possibles.
Rotations dans un végétal
Quel est l'ordre maximal des rotations qui conservent ?
Ne tenir compte ni des étamines, ni des légères variations de taille.
Composé de symétries centrales
Soient
la symétrie centrale de centre
d'affixe
,
la symétrie centrale de centre
d'affixe
et
la symétrie centrale de centre
d'affixe
.
Le composé
est une
.
Le composé
est une symétrie centrale (et une rotation).
est une translation.
Donner .
Cliquer sur .
Quizz parallèles ou perpendiculaires
Parmi les droites suivantes données soit par une équation cartésienne, soit par des équations paramétriques (
est un paramètre réel), lesquelles sont à la droite
d'équation .
Aires de triangles
Voici trois triangles. Le premier est d'aire . Calculer l'aire des deux autres :
Coordonnées trilinéaires
Le triangle
est un triangle équilatéral de hauteur . Cliquer sur le point de coordonnées
() :
Droites et coordonnées trilinéaires
Le triangle
est un triangle équilatéral de hauteur . Un point intérieur au triangle est repéré par ses coordonnées
. Dessiner le segment correspondant à
Produit de trois réflexions
Le composé de trois réflexions par rapport à trois droites non concourantes est une réflexion glissée. Dessiner l'axe de glissage de
.
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Description: collection d'exercices de géométrie plane. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, geometry, transformation_group,geometry,symmetry,rotation, isometries