Algèbre linéaire : applications linéaires
Objectifs
Guide
Définitions
Définition d'une application linéaire
Définition. Soient
E et
F deux espaces vectoriels sur le même corps K. Une application
f
est une
application linéaire si :
- pour tous
u et
v dans
E,
f(u+v) = f(u) + f(v) ;
- pour tous
u dans
E et
dans K, :
.
Cas particuliers.
Soit
f une application linéaire.
- Si
F est le corps
K, on dit que
f est une
forme linéaire sur
E.
-
Si
E = F, on dit que
f est un endomorphisme de
E.
-
Si
f est bijective, on dit que
f est un isomorphisme de
E dans
(ou sur)
F.
-
Si
f est bijective et
E = F, on dit que
f est un automorphisme
de
E.
On note
L(E,F) l'ensemble de toutes les applications linéaires de
E dans
F.
Si
E = F, on note
L(E,F) = L(E).
Propriétés
Proposition Soient
E et
F deux espaces vectoriels sur le corps
K
et
f une
application linéaire. Alors :
-
f(0) = 0 et pour tout
u
E,
f(-u) = -f(u).
- Pour tous
dans
K
et
u1, u2, ... , un dans
E, on a :
.
- Si
G est un sous-espace vectoriel de
E,
alors
f(G) est un sous-espace vectoriel de
F.
Proposition(définition
équivalente d'application linéaire) Soient
E et
F deux espaces
vectoriels sur le corps
K. Une application
est une application linéaire si et seulement si
pour tous
u et
v dans
E et
K,
.
Exercice :
Image d'un vecteur par une application linéaire
Exemples
- Pour tout
K-ev
E, les applications
idE et
0E de
E dans
E définies pour
u
E par :
idE(u) = u et
0E(u) = 0
sont des applications linéaires de
E dans
E, donc des endomorphismes de
E. On appelle
idE l'application identique ou identité de
E,
idE est un automorphisme de
E. On appelle
0E l'application nulle de
E (malgré la notation, ne pas confondre avec l'élément neutre de
E ),
0E n'est pas un automorphisme de
E.
-
L'application
,
f((x,y,z)) = -2x -7y -z, est une forme linéaire sur
.
-
L'application
,
f((z1 , z2)) = (z2 , 0) est un endomorphisme de
.
-
L'application
,
f((x,y)) = (y,x), est un automorphisme de
.
-
Soit
A
Mp,n(K). L'application
f: Mn,1
Mp,1, :
, est une application linéaire.
-
L'application
, où
D = Vect((5,1)) (droite vectorielle de
engendrée par le vecteur
(5 , 1)), définie pour
par
(5,1) est un isomorphisme du -ev
de dimension un sur le sev
D de dimension un du -ev
.
Identification
Les isomorphismes nous permettront d'identifier deux espaces vectoriels.
Ainsi, on ne peut pas dire que la droite
D engendré par le vecteur
(1 , 1)
(géométriquement, la première bissectrice du plan
) "est" :
D n'est pas un ensemble de nombres,
mais un ensemble de couples. Par contre, "
D est isomorphe à " est le langage
qui traduit le fait que, abstraction faite de la nature des éléments de
et de
D,
ces deux espaces vectoriels ont les mêmes propriétés ou le même "comportement".
C'est bien une identification, pas une égalité :
on aurait aussi pu considérer la droite comme engendrée par le vecteur
(2 , 2) et l'isomorphisme de dans
D (c'est-à-dire l'identification de avec
D)
aurait alors été l'isomorphisme
et donc un autre isomorphisme.
Noyau et image
Noyau et image
Proposition et définition :
Soient
E et
F deux espaces vectoriels sur le corps
K et
f une application linéaire.
- L'ensemble
=
est un sous-espace vectoriel de
E, appelé
le noyau de
f.
-
L'ensemble
est un sous-espace vectoriel de
F, appelé
l'image de
f.
Exercice :
Image réciproque par une application linéaire
Injectivité, surjectivité
Proposition : Soient
E et
F deux espaces vectoriels sur le corps
K et
f une application
linéaire.
-
f est injective si et seulement si
=
.
-
f est surjective si et seulement si
.
-
f est un isomorphisme si et seulement si
et
.
Proposition et définition :
Soient
E et
F deux espaces vectoriels sur le corps
K et
f
une application linéaire. On suppose que
E est de dimension finie
et que
(a1 , a2, ... , an) est une base de
E. Alors
(f(a1) , f(a2) , ... , f(an)) est une suite génératrice
de
. Par conséquent le sous-espace
est de dimension
finie. On appelle rang de
f, et on note
rang(f), la dimension de
.
Bases et propriétés d'une application linéaire
Lorsque l'espace vectoriel de départ
E d'une application linéaire
f est de dimension finie, l'on peut "tester" des propriétés de
f d'après l'action de
f sur les vecteurs d'une base de
E,
comme le précise la proposition suivante.
Proposition : Soient
E et
F deux espaces vectoriels sur le corps
K et
f une
application linéaire. Supposons que
E est de dimension finie
n non nulle et que
(
a1 ,
a2, ... ,
an) est une base de
E.
-
f est injective si et seulement si
(f(a1) , f(a2) , ... , f(an)) est une suite libre de
F.
-
f est surjective si et seulement si
(f(a1) , f(a2) , ... , f(an)) engendre
F.
-
f est un isomorphisme si et seulement si
(f(a1) , f(a2) , ... ,f(an)) est une base de
F.
Exemple
Exemple : Soient
a et
l'application linéaire
définie pour tout
par
f((
x,
y,
z)) = (2
x +
y -
z ,
y -
z,
a z). Soient
b et
P le plan vectoriel de
d'équation
x - 2
y +
b z = 0. On veut déterminer, suivant les valeurs de
a et
b, le sous-espace vectoriel
f(
P) de
.
Déterminons une base de
P. Les vecteurs
u = (2 , 1 , 0) et
v = (-
b , 0, 1) sont deux vecteurs non colinéaires de
P, donc
(
u,
v)
est une base de
P. D'après la
proposition,
L'image d'une base par une application linéaire est une
suite génératrice de l'image de l'application linéaire.
(
f(
u) ,
f(
v)) est une suite génératrice de
f(
P).
Il y a plusieurs cas :
- soit
a est non nul
L'application linéaire
f transforme une base de
en une base de
(car la matrice dont
les colonnes sont les vecteurs
f(
e1),
f(
e2) et
f(
e3) est une matrice triangulaire, dont les coefficients
diagonaux sont non nuls), d'après la
proposition,
Si
(a1 , ... , an) est une base,
f est un isomorphisme si et seulement si
(f(a1) , f(a2) , ... , f(an)) est une base d