Fractions rationnelles
Guide
Définition d'un élément simple
On appelle
fraction rationnelle (sur
) toute fonction
f
définie par une relation de la forme
où
P et
Q sont des polynômes à coefficients réels.
Par exemple,
ou encore
On note
l'ensemble des fractions rationnelles sur
.
On appelle
élément simple de
une fraction rationnelle d'un des deux types suivants :
- type "racine réelle" :
avec
a et
u des nombres réels et
k un entier.
Cet élément simple a pour numérateur une constante et pour dénominateur une puissance d'un polynôme
x - u où
u est un réel.
- type "racines complexes conjuguées" :
où
a,
b sont des réels, où
p,
q sont des réels vérifiant
p2 - 4q < 0 et où
k est un entier naturel non nul.
Cet élément simple a pour numérateur un polynôme de degré 1 et
pour dénominateur une puissance d'un trinôme sans racine réelle.
Théorème
Théorème
Théorème : Toute fraction rationnelle sur
s'écrit de façon unique comme somme d'un polynôme (appelé partie entière) et d'éléments simples (appelé partie polaire) dont le type est déterminé par le dénominateur de la fraction rationnelle qu'on décompose.
Cela sera précisé avec les techniques pour les obtenir dans
quelques cas particuliers que l'on conseille de regarder d'abord.
Des
techniques
ou algorithmes plus systématiques sont expliquées d'autre part. Elles sont
facilement programmables. Il faut quand même insister sur le fait qu'il y a derrière un problème difficile dont on ne parle pas : trouver les pôles et en particulier les pôles simples de la fraction rationnelle
, c'est-à-dire les racines du polynôme
Q.
Théorème général de décomposition en éléments simples sur R
Théorème général de décomposition en éléments simples sur R
Soit
une fraction rationnelle avec
avec les u i des réels, les p j et les q j des réels tels que
pj2-4qj < 0 et les n i et les m j des entiers strictement positifs.
Théorème : Il existe une et une seule décomposition en éléments simples de P(x)/Q(x) et elle est de la forme :
avec
-
E un polynôme nul ou de degré égal à deg(P)-deg(Q),
-
les Ai,l, les Bj,k et les Cj,k des réels
De plus si la fraction est irréductible (c'est-à-dire qu'elle ne se simplifie pas),
les A
i,ni sont tous non nuls et
les polynômes B
j,mj+C
j,mjx sont tous non nuls
(c'est-à-dire que soit B
j,mj, soit C
j,mj est non nul)
Calcul de la partie entière
Proposition :
La partie entière
E(x) de la fraction rationnelle
est le quotient de
P par
Q dans la division euclidienne de
P par
Q.
Ainsi :
P(x) = E(x) Q(x) + R(x)
avec
deg(R) < deg(Q) )
et
On est alors ramené au cas où le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.
Division euclidienne
Faisons la division euclidienne sur des exemples.
N'hésitez pas à recommencer
. Et allez voir ensuite comment
poser la division euclidienne
.
Prenons
P(x)=,
Q(x)= alors :
=()() +()
c'est-à-dire
P = EQ +R
avec E(x) = et R(x) = . Bien remarquer que le degré de R qui est est strictement inférieur à NaN.
Effectuons la division : on écrit avec P=P0 :
P0(x)= Q +
Le degré de
P1= est strictement plus petit que celui de
P0.
Il est aussi strictement inférieur à celui de Q, on a donc fini ; le reste est
P1= ; le quotient est obtenu en ajoutant les monômes en rouge.
En général, on pose la division euclidienne de la
manière suivante
Calcul de la partie polaire
On suppose maintenant que l'on cherche à décomposer la fraction rationnelle P(x)/Q(x) en éléments simples
quand deg(P) < deg(Q).
Dans cette situation, la partie entière est nulle.
On étudie en détail les cas particuliers suivants et on précise dans ces cas particuliers le