OEF lois continues, échantillonnage, estimation
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 9 exercices sur les lois continues (densité,
loi uniforme, loi normale, loi exponentielle), échantillonnage, estimation, intervalle de fluctuation,
intervalle de confiance. Niveau Terminale ES ou S.
Loi à densité
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de densité la fonction
définie sur l'intervalle [
;
] par
.
Les probabilités seront arrondies au millième.
Quelles sont les valeurs possibles de X ?
≤ X ≤
Quelle est la probabilité que X soit compris entre et ?
P(X ∈ [,]) ≈
Quelle est la probabilité que X soit compris entre et ?
P(X ∈ [;]) ≈
Quelle est la probabilité que X soit compris entre et ?
P(X∈[;]) ≈
Sachant que X ≤ , quelle est la probabilité que X ≥ ?
P(X≤)(X ≥ ) ≈
Intervalle de confiance : élection
Lors d'une élection, un institut de sondage souhaite estimer le pourcentage de votants pour X. Pour ce faire, il constitue un échantillon de taille
afin de déterminer un intervalle de confiance de la proportion de votants pour X.
Quelle doit être la taille minimale de l'échantillon pour que l'amplitude de l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 0.95, soit inférieure ou égale à .
n=
La taille minimale de l'échantillon est n=
On interroge aléatoirement personnes, % ont l'intention de voter pour X.
En déduire un encadrement par intervalle de confiance, au niveau de confiance 0.95, du pourcentage de votant pour X.
On note fobs la fréquence observée dans l'échantillon.
On arrondira les fréquences au centième et les pourcentages au dixième.
On a n=
, fobs=
.
Les conditions n≥ 30, n.fobs≥5 et n.(1-fobs)≥5
n=
fobs=
Les conditions d'approximation sont vérifiées.
Au niveau de confiance 0.95, le pourcentage de votants pour X., se situe entre
% et
%.
Intervalle de fluctuation asymptotique : urne
Compléter.
| Population étudiée : |
|
|---|
| Caractère étudié : | être de couleur
Proportion du caractère dans la population totale : p=
|
|---|
| Taille de l'échantillon : | n=
|
|---|
Les conditions
et
sont-elles vérifiées ?
Population étudiée :
Caractère étudié : "être de couleur "
p=
taille de l'échantillon : n=
Les conditions sont vérifiées
Les conditions ne sont pas vérifiées.
Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 de F en arrondissant à
.
=[
,
]
Loi uniforme : choix d'un nombre au hasard
On choisit un nombre réel X au hasard entre et . On suppose que X suit la loi uniforme sur l'intervalle [,].
Les probabilités seront arrondies au millième.
Quelle est la probabilité que X soit compris entre et ?
P( ≤ X ≤ )=
Quelle est la probabilité que X soit compris entre et ?
P( ≤ X ≤ )=
Quelle est la probabilité que X soit ou égal à ?
P(X )=
Sachant que le nombre choisi est inférieur ou égal à , quelle est la probabilité qu'il soit supérieur ou égal à ?
P(X ≤)(X ≥ )=
Quelle est l'espérance de X ?
E(X)=
Loi exponentielle : calcul I
Soit
une variable aléatoire de densité
, où la fonction
est définie par :
si
et
sinon.
Calculer la probabilité que l'événement
se réalise.
Loi exponentielle : calcul II
Soit
une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre
.
Garder au moins 4 chiffres significatifs
Calculer la probabilité que l'événement
se réalise.
Calculer la probabilité que l'événement
se réalise.
Loi normale : longueur d'une pièce
Une machine produit des pièces dont la longueur est une variable aléatoire X qui suit une loi normale mm et
mm2
mm
.
Une pièce est "acceptable" si sa longueur est comprise entre mm et mm.
Quel est le pourcentage, arrondi au dixième, de pièces acceptables produites par cette machine ?
p ≈
%.
On souhaite régler l'écart-type σ de cette machine (l'espérance restant inchangée) pour que % des pièces soient acceptées.
Déterminer la valeur de σ arrondie à 10
-3.
σ ≈
Intervalle de fluctuation : parité à l'embauche
Dans un bassin d'emploi, il y a % d'hommes et % de femmes.
Une entreprise a recruté hommes et femmes.
Le bassin est suffisamment important pour considérer le recrutement comme un échantillon de taille de l'ensemble des demandeurs d'emploi de ce bassin.
On souhaite savoir si cette entreprise a respecté la parité homme/femme.
Les résultats seront arrondis au centième.
compléter :
| Population étudiée : |
|
|---|
| Caractère étudié : | être | proportion dans la population : p=
|
|---|
| Echantillon : | taille n=
| fréquence observée dans l'échantillon : fobs=
|
|---|
Les conditions n ≥ 30, n.p ≥ 5 et n.(1-p) ≥ 5 sont-elles vérifiées ?
.
Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 de la fréquence d'hommes dans un échantillon de taille . Conclure.
On rappelle que n=, p=, fobs= et les conditions d'approximation sont respectées.
On rappelle que n=, p=, fobs= et les conditions d'approximation sont respectées.
=[
;
]
On a fobs
I, donc la différence entre fobs et p
statistiquement significative. Au seuil de 95%,
suspecter cette entreprise de ne pas respecter la parité homme- femme à l'embauche.
Loi normale : taille, poids d'une personne
La
Le
, en ,
d'un
d'une
agé
agée
de ans, est une variable aléatoire X qui suit une loi normale d'espérance m=
et d'écart-type
=
.
Les probabilités seront arrondies au millième et les pourcentages au dixième.
Quelle est la probabilité que
la
le
d'un
d'une
de cet âge soit à ?
P(X
) ≈
Quelle est la probabilité qu'
il
elle
mesure
pèse
au ?
P(X
) ≈
Quelle est le pourcentage de de ans,
mesurant
pesant
entre entre et ?
p ≈
%
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Description: exercices, loi uniforme, loi normale, loi exponentielle, echantillonnage, estimation, intervalle de fluctuation, intervalle de confiance. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, probability, statistics,, normal_distribution, uniform_distribution, exponential_distribution, prediction_interval, confidence_interval, continuous_probability_distribution, density, sampling, estimation