DOC Théorèmes d'incidence et sections de cube

Sommaire

Ce document rédigé pour les étudiants de la licence scientifique générale (L3 pour des futurs professeurs des écoles à l'université Paris-Sud) accompagne une partie du cours de géométrie basé sur l'ouvrage de Daniel Perrin : Mathématiques d'école : nombres, mesures et géométrie publié par Editions Cassini (402 p. ISBN 978-2-84225-158-1) . On y fait référence par ME.

ME exercice 187, 185 renvoie à l'exercice 187 de la nouvelle édition, 185 de la première. De même pour les pages ou les propositions.
ME VI.1. renvoie à la partie 1 du chapitre 6.

Théorèmes d'incidence

Cette partie s'appuie sur [ME.VIII.1 et 2], l'illustre et l'applique systématiquement aux sections de cube.

1. Propriétés fondamentales , Quelques clés pour comprendre les figures
2. Positions relatives de deux droites
3. Positions relatives d'une droite et d'un plan
4. Positions relatives de deux plans
5. Droites parallèles et plan
6. Droite perpendiculaire à un plan
7. Intersection de plans
   • Théorème des plans parallèles
   • Théorème du toit

Section d'un cube par un plan

Cette partie étudie la section d'un cube par un plan et renvoie à des exercices interactifs.

1. Problème
2. Exemples où (M N) est parallèle à une arête du cube.
   • La section est un parallélogramme
   • La section est un rectangle
   • Application du théorème du toit à une section de cube
3. Exemples où (M N) non parallèle à une arête du cube.
   • Méthode
   • Exemple rédigé
   • Section de cube (cas expert)

Volume de pyramides

Cette partie établit les formules du volume d'une pyramide et d'un tronc de pyramide en vue de calculer le volume d'une portion de cube obtenue après section par un plan.

1. Volume d'un tétraèdre
2. Volume d'un tronc de pyramide , pyramide et théorème de Thalès
3. Calcul du volume d'une portion de cube

Propriétés fondamentales

Les propriétés fondamentales de l'espace euclidien sur lesquelles nous nous appuyons sont les suivantes :

• A.1. Par deux points distincts A et B de passe une droite et une seule, notée (AB).
• A.2. Par trois points non alignés A, B et C de passe un plan et un seul, noté (ABC).
• A.3. Si un plan contient deux points distincts A et B, il contient strictement la droite (AB).
• A.4. L'intersection de deux plans ne peut être réduite à un point.
• A.5. Axiome d'Euclide pour les plans : Par un point de passe un unique plan parallèle à un plan donné.
• A.6. Axiome d'Euclide pour les droites : Par un point de passe une unique droite parallèle à une droite donnée.

Quelques clés pour comprendre les figures

Quelques clés pour comprendre les figures

Dans les figures de ce document, on utilise une perspective cavalière pour représenter sur un plan un objet de l'espace : En perspective cavalière, on projette l'objet sur un plan parallèlement à une droite donnée (Perspective cavalière et ombre).

• La projection conserve les intersections, le parallélisme des droites et des plans, les rapports de longueurs.
• Dans les plans parallèles à (perpendiculaires au regard) tout est conservé.
• l'angle de avec le regard détermine l'allure de la perspective.
• La projection engendre de faux points d'intersection. Exemples :
  • Faux point
  • Vrai point, faux point

Un cube en perspective cavalière.

Faux point

Sur la figure, les arêtes [D D'] et [A B] semblent être sécantes au point marqué d'un croix rouge. Ce point n'a pas d'existence dans l'espace sinon la face A B C D contiendrait deux points de l'arête [D D'] et le cube serait aplati. Les arêtes [D D'] et [A B] sont dans deux plans strictement parallèles, (A B B') et (D C C').

Vrai point, faux point

Les droites (M N) et (B C) sont coplanaires dans le plan de la face supérieure donc soit elles sont parallèles et leurs projections restent parallèles (donc sans point d'intersection), soit elles sont sécantes (ce qui est le cas dans la figure) et le point Q est leur point d'intersection. C'est un vrai point.
La droite (C C') rencontre le plan de la face supérieure en C donc elle ne rencontre pas la droite (M N) qui est dans ce plan mais ne passe pas par C. Le point marqué par la croix est un faux point dû à la projection.

Un cube en perspective cavalière.

Pour l'étude des sections d'un cube, il est très utile de représenter un cube en perspective. Voici une représentation assez claire sans superposition. La face du dessous est A'B'C'D', celle du dessus A B C D ; les arêtes [A A'], [B B'], [C C'] et [D D'] sont "verticales". Les instructions de construction sont données pour le logiciel GeoGebra.

Construire un carré A'B'B A avec l'outil polygone régulier, le milieu O de [A C] (outil milieu sans tracer la diagonale) est le centre du cercle circonscrit au carré (outil cercle (centre-point)). M est le milieu de [A B], D est l'autre intersection de (B'M) et du cercle . Définir le vecteur avec l'outil vecteur (boîte à outil droite) puis utiliser l'outil translation (boîte à outil transformation) pour construire les sommets des parallélogrammes A B C D , B'BCC' et A'B'C'D'. On mettra en pointillé (dans propriétés, choisir style) les arêtes [A'D'], [D D'] et [D'C']. Pour obtenir une figure utilisable dans les exercices, cacher les objets auxiliaires de construction. On peut sélectionner la figure et l'exporter en différents formats (voir le menu fichier).

Positions relatives de deux droites

L'intersection de deux droites distinctes est soit vide soit réduite à un point ( axiome A1 )
La relation " est parallèle à " est transitive. ici
Exemples dans un cube : Figure

1. Dans le plan (A B C), (A B) et (D B) sont sécantes en B, (A B) et (C D) sont parallèles.
2. Le plan (B B'D) contient la parallèle à (B B') passant par D c'est-à-dire (D D').
3. Les droites (A B) et (B C) sont perpendiculaires dans le plan (A B C).
4. Les droites (A C) et (B'C') ne sont pas coplanaires sinon A serait dans le plan de la face B C C'B'.
5. Les droites (A'B') et (B C) ne sont pas coplanaires, elles sont orthogonales car parallèles aux droites perpendiculaires (A B) et (B C).

Exercices

• Droites dans le tétraèdre
• Droites dans le cube
• Droites orthogonales dans le cube

Positions relatives d'une droite et d'un plan

Soient une droite et un plan dans l'espace. D'après l' axiome 3 , soit ne rencontre pas , soit rencontre en un unique point, soit est contenu dans . On donne alors les définitions suivantes :

1. Les droites (A B) et (A D) sont contenues dans (A B C).
2. Les droites (D'B) et (B B') rencontrent (A B C) en un seul point B.
3. La droite (A'B') est (strictement) parallèle à (A B C)

Exercices

• Droite et plan dans le tétraèdre
• Droite et plan dans le cube

Positions relatives de deux plans

Par extension, on dit aussi qu'un plan est parallèle à lui-même. Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre deux ; ceci résulte d'un des axiomes d'Euclide.
Exemples dans un cube : Figure

1. Les plans (A B C) et (A B C') sont sécants.
2. Les plans (A B C) et (A'B'C') sont parallèles.

Droites parallèles et plan

Droite perpendiculaire à un plan

Exemples dans un cube : Figure

1. Comme A B B'A' et B B'C'C sont des carrés, par (2), la droite "verticale" (B B') est perpendiculaire en B au plan "horizontal" (A B C). Donc, par définition, (B B') est perpendiculaire à (B D) et, par (4), orthogonale à (A D).
2. Les plans (A B C) et (B B'C') sont perpendiculaires. De même, (A B C) et (D B B').
3. Application à la section rectangulaire d'un cube .

Exercice : triangles dans le cube

Théorème des plans parallèles

Exemples dans un cube :

1. Le plan (A B'C') coupe (A B C) et (A'B'C') selon les parallèles (A D) et (B'C').

   

2. Soit M un point de [A B]. Le plan (M B'C') coupe (ABC) selon la parallèle à (B'C') (et donc à (B C)) passant par M et (D C C') selon la parallèle à (M B') passant par C'. Quelle est la nature de la section M B'C'N ?

   

3. La section est un parallélogramme .

Théorème du toit

Application du théorème du toit à une section de cube

Exemple dans un cube. Figure

Une droite de (A B B') est parallèle à une droite de (B C C') si et seulement si elle est parallèle à (B B'). Par exemple (A A') est parallèle à (C C').

Problème

Etant donné un cube et trois points M, N et P, non alignés sur des arêtes de ce cube, il s'agit de construire le polygone intersection de et du plan (M N P). Les côtés de sont les intersections de (M N P) avec les faces du cube. Ce sont ces segments qu'il faut construire. Le polygone peut être un triangle, un quadrilatère (parallélogramme, rectangle, carré), un pentagone ou un hexagone.
On peut appliquer le Théorème des plans parallèles , le Théorème du toit , une méthode de prolongement des arêtes ou utiliser un plan auxilaire .

La section est un parallélogramme

On suppose que M appartient à [A B], N à [A'B'], P à [D C] et que la section du cube par (M N P) est un quadrilatère N M P Q ; alors c'est un parallélogramme en effet le plan (M N P) coupe les faces parallèles (A BB') et (D C C') (respectivement (A B C) et (A'B'C')) selon des droites parallèles (M N) et (P Q) (respectivement (M P) et (N Q)).(Voir le Théorème des plans parallèles ). Dans quel cas N M Q P est-il un rectangle ?

Réponse

Sur la figure ( Version imprimable de la figure ), vous pouvez déplacer les points M, N et P.

Version imprimable de la figure

La section est un rectangle

Le parallélogramme N M Q P est un rectangle si et seulement si (M N) est perpendiculaire à (M P). Comme (B C) est perpendiculaire à (A B B'), elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à (M N) par le théorème concernant une droite perpendiculaire à un plan.

• Si (M P) est parallèle à (B C), alors (M P) est perpendiculaire à (A B B') donc à (M N).
• Si (M P) n'est pas parallèle à (B C), alors comme (M N) est orthogonale à (B C), (M N) est perpendiculaire à (M P) si et seulement si (M N) est orthogonale à deux droites non parallèles de (A B C) si et seulement si (M N) est perpendiculaire à (A B C). On en déduit que dans ce cas (M N) est parallèle à (B B').

Sur la figure, vous pouvez déplacer les points M, N et P.
Version imprimable de la figure

Version imprimable de la figure

Application du théorème du toit à une section de cube

On utilise ici le théorème du toit pour déterminer l'intersection de deux plans.

Soient M un point de [A B], N un point de [A'B'] et P un point de [B'C']. On suppose que (M N) est parallèle à (B B').
L'intersection des plans (M N P) et (B B'C') contient P et par le théorème du toit c'est une droite parallèle à (B B'). La droite est donc la parallèle à (B B') passant par P.
Soit Q le point d'intersection de et de (B C), sécantes dans le plan (B B'C'). Par le théorème des plans parallèles , (M Q) est parallèle à (N P), donc M N P Q est un parallélogramme et comme (MN) est perpendiculaire à (A B C), M N P Q est un rectangle.

Le rectangle M N P Q peut-il être un carré ?

Sur la figure, vous pouvez déplacer les points M et P. Version imprimable de la figure

Version imprimable de la figure

Méthode

Il s'agit de construire la section du cube par le plan (M N P) lorsque (M N) n'est pas parallèle à une arête. On suppose que M appartient à [A B], N à [A'B'] et que (M N) n'est pas parallèle à (A A'). Dans le plan (A BB') (celui de la face de devant), les droites (MN) et (AA') sont sécantes en un point Q qui appartient à la droite (M N) donc au plan (M N P) et à la droite (A A') donc au plan (A A'D') (celui de la face de gauche). Nous avons ainsi déterminé un point de (M N P) dans une autre face que celle de M et N. Si, par exemple, P appartient à (D D'), la droite (P Q) rencontre la face A A'D'D selon un segment [P R] qui est un côté de la section puisque (P Q) est contenue dans (M N P). Exercices : facile , difficile , expert .

Exemple rédigé

Il s'agit de construire la trace, sur les faces du cube, du plan défini par A, M et N.

1. Le segment [A N] est la trace du plan (A M N) sur la face de devant. Dans le plan (A B B') (de la face de devant), la droite (A N) rencontre (B B') en P qui appartient donc à (A M N) mais aussi au plan (B B'C) (de la face de droite).	2. Dans le plan (B B'C) (de la face de droite), (P M), droite du plan (A M N), rencontre rencontre (B'C') en un point Q de (A M N). Alors le segment [M Q] est la trace du plan (A M N) sur la face de droite.
3. La section du cube par le plan (A M N) est donc le trapèze A N Q M. En effet, par exemple, [N Q] est l'intersection de (A M N) et de la face du bas et par le théorème des plans parallèles, (N Q) est parallèle à (A M). 4. Calcul du volume de la partie A M B B'Q N du cube.

Section de cube (cas expert)

Le cas difficile est la section du cube par un plan (M N P) où M, N et P sont sur des arêtes deux à deux non coplanaires. La méthode du plan auxiliaire est décrite dans le livre page 386, 372, ligne 8 lire "R et P".

1. Un plan auxiliaire contient un point, par exemple M, et l'arête contenant un autre point, par exemple N.
2. Soit la droite intersection de et d'une face contenant le troisième point P.
3. Les droites (M N) et sont coplanaires dans . Leur point d'intersection Q, s'il existe, est à la fois dans (M N P) et dans le plan d'une face contenant P.
4. La droite (P Q) permet de construire la trace de (M N P) sur cette face contenant P.
5. On termine comme dans le cas facile ...

Exercice

Volume d'un tétraèdre

Le volume d'un tétraèdre est calculé en [ME.X.3.D] de façon différente selon l'édition de ME. Voici une variante signalée à D. Perrin par Daniel Meyer , en trois étapes, basée sur l'homogénéité du volume.

• Volume du tétraèdre (1)
• Volume du tétraèdre (2)
• Volume du tétraèdre (3)

Volume du tétraèdre (1)

On calcule le volume du tétraèdre vert en le comparant à celui d'un parallélépipède de base double et de même hauteur. On utilise pour cela un tétraèdre homothétique.

Dans chaque figure, la mobilité du point A permet de modifier la figure et ainsi d'améliorer la vision 3D. Pour la suite du calcul faire suiv

Sur la figure 1, voici, en vert, le tétraèdre dont on va calculer le volume.
Sa base B C D a pour aire la moitié de celle de A''B C D, base du parallélépipède rose.

Figure 1. version imprimable

Volume du tétraèdre : figure 1 imprimable

Volume du tétraèdre (2)

Sur la figure 2, le tétraèdre saumon A''B''C''D'' est symétrique de A B C D par rapport à O.

Figure 2. version imprimable

Volume du tétraèdre : figure 2 imprimable

Volume du tétraèdre (3)

1. Le tétraèdre A'B'C'D' est homothétique de A B C D par l'homothétie de centre D et de rapport 2. Donc si t est le volume de A B C D, le volume de A'B'C'D' est 8t.
2. Le tétraèdre A'B'C'D' est la réunion d'une partie du parallélépipède (le tétraèdre A''B''C''D'' n'est pas contenu dans A'B'C'D') et de trois tétraèdres de volume t donc le volume du parallélépipède est 6t.
3. Or le volume du parallélépipède est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur et l'aire de la base du petit tétraèdre est la moitié de celle de la base du parallélépipède.

On a donc montré :

Figure 3. version imprimable

Volume du tétraèdre : figure 3 imprimable

Volume d'un tronc de pyramide

Soit une pyramide de base A1 A2 ... An (avec ) et de sommet O. Soit A'1 (resp. A'2, A'3) un point de (O A1) (resp. (O A2), (O A3)). On suppose que le plan (A'1 A'2 A'3) est parallèle au plan (A1 A2 A3) de la base. On note A'i l'intersection de (A'1 A'2 A'3) avec (O Ai) pour i = 4, ..., n dans le cas n > 3. On convient que est le point A1 et le point A'1. On appelle une pyramide de base A'1 A'2... A'n (avec ) et de sommet O. Alors Pour i = 1, ..., n, la droite est parallèle à . Il existe une homothétie h de centre O et de rapport qui envoie Ai sur A'i pour tout i = 1, ..., n. On a : pour tout i = 1, ..., n. Le volume de est égal à . Si A'1 est entre A1 et O, le volume du tronc de la pyramide compris entre les plans (A'1 A'2 A'3) et (A1 A2 A3) est égal à .

Figure imprimable du tronc de pyramide

Figure imprimable du tronc de pyramide

Calcul du volume d'une portion de cube

Nous reprenons l'exemple rédigé ici : le cube de côté a est coupé par le plan (A M N) et nous avons vu que la section est le quadrilatère A N Q M. Nous allons calculer le volume v de la partie A N B'Q M B du cube située devant ce quadrilatère. Pour ce faire, nous utilisons les pyramides construites pour établir la section.

Considérons le grand tétraèdre de base A B M et de sommet P et le petit tétraèdre t de même sommet et de base N B'Q. D'après la formule du Volume d'un tronc de pyramide , comme les deux pyramides ont même sommet et que leurs bases sont parallèles, il existe une homothétie h de sommet P et de rapport k (que nous allons déterminer) qui envoie P sur P, A sur N, B sur B' et M sur Q avec Si on suppose les égalités , on obtient . On en tire . Alors le volume de vaut . Le volume v du tronc de pyramide est donc égal à soit .