Suite arithmétique et géométrique --- Introduction ---

• Calcul du 7^e terme d'une suite géométrique : Passage des intérêts simples aux intérêts composés.
• Calcul du 8^e terme d'une suite arithmétique et géométrique : Capitalisme Financier Versus Travail.
• Calcul de la somme d'une suite géométrique : Quel est le prix réel de la consommation de tabac ?
• Pourcentage - Calcul d'un terme et de la somme d'une suite géométrique : Comment connaître sa capacité d'emprunt ?
• Résolution d'une équation utilisant le log pour calculer n. D'autres possibilités sont offertes mais seul cette résolution est du niveau BAC PRO : Quelle doit être la durée d'un placement financier pour acheter un objet ?

• vie économique et professionnelle

5. Suite géométrique n?

Les quatre formules sur les suites sont données ci-desous :

Pour une suite arithmétique, la relation est donnée par : Un = U0 + n r Sk=U0+ ... +Uk = (k+1)		Pour une suite géométrique, la relation est donnée par : Un = U0 qn Sk=U0+ ... +Uk =
Sk : Somme des termes de rang k Un : terme de rang n U0 : 1er terme r : raison de la suite n : rang de la suite		Sk : Somme des termes de rang k Un : terme de rang n U0 : 1er terme q : raison de la suite n : rang de la suite

ÉTAPE sur 2

Parmi les 4 propositions suivantes, préciser celle qui semble être la plus pertinente pour répondre à la question posée.

Compléter les seules informations qui permettent de résoudre la problématique : (Les cases qui ne vous semblent pas pertinentes doivent prendre la valeur 0.)

U

U

U_n = U₀ (1+t)ⁿ
= (1+ )ⁿ
= ( )ⁿ

―――――――	=( )n

Le calcul du quotient doit être arrondi à 10^-4.
log( )=log( )ⁿ
log( )=n log( )
Arrondissez à l'unité
n=

ÉTAPE sur 2

Conclusion : La durée du placement doit donc être de années.

4. Tableau d'amortissement

ÉTAPE sur 6

Étude des mensualités maximum pour ce couple.

• Calculer les revenus mensuels : €
• Déterminer la mensualité maximum : €

• Le revenu mensuel du couple est de €.
• La mensualité maximum est de €.

Le banquier réalise l'offre suivante :

• OFFRE : Un remboursement sur ans aux taux annuel de % permet d'emprunter €.

Calculer le taux mensuel : tm =

ÉTAPE sur 6

Compléter à 0.01 près le tableau d'amortissement suivant :

Période	Capital en €	Intérêt en €	Amortissement en €	Mensualité en €
	Montant emprunté ou Capital restant dû = Capital Amortissement	Capital tm	Mensualité Intérêt	Mensualité en €
1ermois

• Le taux mensuel est : tm =

Le banquier réalise l'offre suivante :

• OFFRE : Un remboursement sur ans aux taux annuel de % permet d'emprunter €.

ÉTAPE sur 6

Compléter à 0.01 près le tableau d'amortissement suivant :

Période	Capital en €	Intérêt en €	Amortissement en €	Mensualité en €
	Montant emprunté ou Capital restant dû = Capital Amortissement	Capital tm	Mensualité Intérêt	Mensualité en €
1ermois
2emois

• Le taux mensuel est : tm =

Le banquier réalise l'offre suivante :

• OFFRE : Un remboursement sur ans aux taux annuel de % permet d'emprunter €.

ÉTAPE sur 6

Compléter à 0.01 près le tableau d'amortissement suivant :

Période	Capital en €	Intérêt en €	Amortissement en €	Mensualité en €
	Montant emprunté ou Capital restant dû = Capital Amortissement	Capital tm	Mensualité Intérêt	Mensualité en €
1ermois
2emois
3emois

• Le taux mensuel est : tm =

Le banquier réalise l'offre suivante :

• OFFRE : Un remboursement sur ans aux taux annuel de % permet d'emprunter €

ÉTAPE sur 6

Pour compléter à 0.01 près le tableau d'amortissement suivant, vous devez réaliser ce tableau avec un tableur :

Période	Capital en €	Intérêt en €	Amortissement en €	Mensualité en €
	Montant emprunté ou Capital restant dû = Capital Amortissement	Capital tm	Mensualité Intérêt	Mensualité en €
1ermois
2emois
3emois
...emois	...	...	...	...
emois

Au bout de ans, vous percevez la moitié de la somme empruntée.
Pouvez-vous rembourser votre crédit ?

Conclusion : Au début du crédit, on rembourse essentiellement des .

• Le taux mensuel est : tm =

Le banquier réalise l'offre suivante :

• OFFRE : Un remboursement sur ans aux taux annuel de % permet d'emprunter €.

ÉTAPE sur 6

Pour compléter à 0.01 près le tableau d'amortissement suivant, trouver la colonne qui se comporte comme une suite :

On définit ainsi une suite de premier terme = et de raison .

Les quatre formules sur les suites sont données ci-desous :

Pour une suite arithmétique, la relation est donnée par : Un = U1 + (n-1) r Sk=U1+ ... +Uk = k		Pour une suite géométrique, la relation est donnée par : Un = U1 qn-1 Sk=U1+ ... +Uk =
Sk : Somme des termes de rang k Un : terme de rang n U1 : 1er terme r : raison de la suite n : rang de la suite		Sk : Somme des termes de rang k Un : terme de rang n U1 : 1er terme q : raison de la suite n : rang de la suite

Période	Capital en €	Intérêt en €	Amortissement en €	Mensualité en €
	Montant emprunté ou Capital restant dû = Capital Amortissement	Capital tm	Mensualité Intérêt	Mensualité en €
1ermois
2emois
3emois
...emois	...	...	...	...
emois
...emois	...	...	...	...
emois

Calculer la somme de tous les termes de cette suite géométrique. Arrondir à l'unité.
U₁+ ... +U =
Conclusion : Le résultat précédent correspond au

Le total des sommes versées à la banque est de : €.

Le coût d'ensemble du crédit est de : €.

2. Capitaliste Financier Versus Travail

ÉTAPE sur 3

Parmi les 2 entreprises, quelle est celle qui vous paraît la plus rentable ?

Votre réponse précédente est fausse. En effet on ne peut pas conclure sans réaliser des calculs. Votre réponse précédente est juste.

ÉTAPE sur 3

Étudier l'évolution des bénéfices les 3 premiers mois.

Monsieur BANK	Monsieur WORK
Calculer le taux mensuel : tm = % Donner la valeur du capital placé : Ca0= Calculer le capital acquis le premier mois : Ca1 = Calculer le capital acquis le deuxième mois : Ca2 = Calculer le capital acquis le troisième mois : Ca3 = On définit ainsi une suite de premier terme et de raison .	Déterminer la valeur du bénéfice mensuel : Bm = Donner la valeur du capital placé : Ca0= Calculer le capital acquis le premier mois : Ca1 = Calculer le capital acquis le deuxième mois : Ca2 = Calculer le capital acquis le troisième mois : Ca3 = On définit ainsi une suite de premier terme et de raison .

Durée de la basse saison en mois	Capital avec les intérêts pour la société BANK en €	Capital avec les bénéfices mensuels pour la société WORK en €
0
1
2
3
...	...	...
8	...	...

• Les bénéfices de Monsieur BANK forme bien une suite géométrique de premier terme = et de raison q=
• Les bénéfices de Monsieur WORK forme bien une suite arithmétique de premier terme = et de raison r=

Regarder la vidéo pour construire un tableur :

Les quatre formules sur les suites sont données ci-desous :

Pour une suite arithmétique, la relation est donnée par : Un = U0 + n r Sk=U0+ ... +Uk = (k+1)		Pour une suite géométrique, la relation est donnée par : Un = U0 qn Sk=U0+ ... +Uk =
Sk : Somme des termes de rang k Un : terme de rang n UO : 1er terme r : raison de la suite n : rang de la suite		Sk : Somme des termes de rang k Un : terme de rang n U0 : 1er terme q : raison de la suite n : rang de la suite

ÉTAPE sur 3

Pour résoudre la problématique, on peut utiliser les formules ou le tableur. Les deux méthodes peuvent être complémentaires. Un arrondi à 0.01 est à réaliser.

Calculer le 8^èmeterme de chaque suite.

• Pour l'entreprise BANK U₈=
• Pour l'entreprise WORK U₈=

En déduire le bénéfice annuel de chaque entreprise.

• Bénéfice de l'entreprise BANK =
• Bénéfice de l'entreprise WORK =

Conclusion : Quel est le commerce le plus rentable ?

3. Paquet de cigarettes

?

ÉTAPE sur 2

Étudier l'évolution des montants des intérêts sur les 3 derniers mois.

• Calculer le montant placé chaque mois : Mensualité = €
• Calculer le taux mensuel : tm = %
• Calculer la durée du placement en année : Durée=
• Calculer la durée du placement en mois : Durée=

	Durée du placement en mois	Capital avec les intérêts en €
e versement	0
e versement	1
e versement	2
...e versement	...
3e versement
2e versement
1er versement

On définit ainsi une suite de premier terme = et de raison .

	Durée du placement en mois	Capital avec les intérêts en €
e versement	0
e versement	1
e versement	2
...e versement	...
3e versement
2e versement
1er versement

• Les sommes d'argent ainsi placées forment une suite géométrique de premier terme = et de raison q=

Les quatres formules sur les suites sont données ci-desous :

Pour une suite arithmétique, la relation est donnée par : Un = U0 + n r Sk=U0+ ... +Uk = (k+1)		Pour une suite géométrique, la relation est donnée par : Un = U0 qn Sk=U0+ ... +Uk =
Sk : Somme des termes de rang k Un : terme de rang n U0 : 1er terme r : raison de la suite n : rang de la suite		Sk : Somme des termes de rang k Un : terme de rang n U0 : 1er terme q : raison de la suite n : rang de la suite

ÉTAPE sur 2

Calculer la valeur acquise sur les ans.
Utiliser aux choix les formules ou la construction d'un tableur.
Pour écrire une formule avec une puissance dans un tableur, on utilise le formaliste suivant : x⁴ = x^4
Les deux méthodes peuvent être complémentaires. Un arrondi à 0.01 est à réaliser.

• Valeur acquise =

Conclusion : L'arrêt du tabac a rapporté la somme de € en ans.

1. Passage des intérêts simples aux intérêts composés

Les intérêts simples sont donnés par la relation suivante : I = C t n
	I : Intérêt en € C : Capital placé en € t : Taux du placement n : Période du placement

ÉTAPE sur 5

A l'aide des énoncés, Précisez les informations suivantes :

• La valeur du capital est de €.
• Le taux annuel est de . la valeur attendue ne doit pas être exprimée en pourcentage.
• La Durée du placement de la première année est de an.

En utilisant la formule, déterminer les intérêts de la première année : I= €
En déduire le capital à la fin de cette première année : C₁= €
A l'aide des résultats précédent, compléter le tableau suivant :
Les solutions proposées correspondent forcément aux réponses trouvées.

	Capital en début d'année en €	Intérêt en €	Capital à la fin d'année en €
1er année
2e année
ue année

Les intérêts simples sont donnés par la relation suivante : I = C t n
	I : Intérêt en € C : Capital placé en € t : Taux du placement n : Période du placement

Une ou plusieurs réponses précédentes sont fausses.
L'erreur classique est de penser que la durée du placement est de 7 ans alors que pour la première année cette durée est de 1 an. Vos réponses précédentes sont justes
Le capital en début de 2^e année a une valeur de €.

ÉTAPE sur 5

Précisez les informations suivante :

• La valeur du capital au début de la 2^e année est de €.
• Le taux annuel est de . la valeur attendue ne doit pas être exprimée en pourcentage.
• La durée du placement de la deuxième année est de an.

En utilisant la formule, déterminer les intérêts de la deuxième année : I= €

En déduire le capital à la fin de cette deuxième année : C₂= €

Compléter le tableau suivant :
Les solutions proposées correspondent forcément aux réponses trouvées.

	Capital en début d'année en €	Intérêt en €	Capital à la fin d'année en €
1er année
2e année
3e année
ue année

Les intérêts simples sont donnés par la relation suivante : I = C t n
	I : Intérêt en € C : Capital placé en € t : Taux du placement n : Période du placement

Une ou plusieurs réponses précédentes sont fausses.

La durée du placement est toujours de 1 an pour la deuxième année. Vos réponses précédentes sont justes.
Le taux d'intérêt est de et la période est toujours de 1 an.

ÉTAPE sur 5

Regarder la vidéo :

Compléter le tableau :

	Capital en début d'année en €	Intérêt en €	Capital à la fin d'année en €
l année
3e année
le année

Conclusion : Le capital placé durant 7 années a une valeur actuelle de : €. Le tableau réalisé évite les calculs fastidieux.

Une ou plusieurs réponses précédentes sont fausses.

En effet les calculs sont interminables. Vos réponses précédentes sont justes.
Vous êtes un excellent calculateur.
Le tableau correct est le suivant :

	Capital en début d'année en €	Intérêt en €	Capital à la fin d'année en €
l année

En reprenant le tableau précédent, on a :

Capital	C
Montant du capital en fin d'année

On passe d'un terme à l'autre en la valeur .

Par conséquent les différents termes forment une suite de premier terme et de raison .

Afin d'éviter l'ensemble de ses calculs, une des deux formules sur les suites permet le calcul direct de la valeur acquise au bout de la septième année.
   

Pour une suite arithmétique, la relation est donnée par : Un = U0 + n r		Pour une suite géométrique, la relation est donnée par : Un = U0 qn
Un : terme de rang n U0 : 1er terme r : raison de la suite n : rang de la suite		Un : terme de rang n U0 : 1er terme q : raison de la suite n : rang de la suite

ÉTAPE sur 5

A l'aide des énoncés, Précisez les informations suivantes :

• U₀ =
• raison =
• n =

Un = U0 + n r Un = +

Choisir la bonne formule et mettre la valeur x dans les cases de la formule non utilisée

Un = U0 qn Un =

A l'aide de la calculatrice, on calcule : U_n = €

Conclusion : Le capital placé durant 7 années a une valeur acquise de : €. Le calcul réalisé est rapide.

Conclusion : Le capital placé durant 7 années a une valeur acquise de : €.

ÉTAPE sur 5

Par conséquent cliquez sur le bien de consommation que l'élève peut s'offrir :

€

€

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