Trinôme du second degré

Introduction et sommaire

Nous étudions ici les trinômes du second degré à coefficients réels. Le fait que les coefficients et les racines considérées sont réels sera parfois sous-entendu.

On pose . Le but de cette étude est la factorisation de ce trinôme et la résolution de l'équation (E). On s'intéressera aussi au signe de et à l'interprétation graphique des résultats.

Sommaire

1. Problème et cas particulier
2. Forme canonique d'un trinôme
3. Résolution d'une équation du second degré à coefficients réels
• Théorème
• Exemples de résolution et exercices
• Exemples de factorisation d'un trinôme
• Somme et produit des racines et techniques de vérification.
4. Interprétation graphique
5. Signe d'un trinôme
6. Position d'un nombre par rapport aux racines
7. Inéquation du second degré

Problème et cas particulier

Commençons par résoudre le problème posé dans le cas particulier où b est nul : , c'est-à-dire .

• Si est strictement positif, le trinôme est factorisé et l'équation (E) n'admet aucune solution réelle.
• Si est nul, le trinôme est factorisé et l'équation (E) admet la solution réelle 0.
• Si est strictement négatif, on factorise le trinôme en utilisant l'identité remarquable : u²-v²=(u+v)(u-v) : . L'équation (E) admet deux solutions réelles et .

Pour s'exercer :

1. Résolution du cas particulier
2. Résolution simple

Forme canonique d'un trinôme

On constate que l'on a : . L'interprétation géométrique du couple est donnée à cette page .

Démonstration.

Comme a n'est pas nul, en s'inspirant de l'identité remarquable : (x + u)² = x² + 2ux + u², on peut écrire :

.

Pour s'exercer :

1. Forme canonique
2. Forme canonique

Résolution d'une équation du second degré à coefficients réels

Ce théorème présente les résultats de résolution d'une équation du second degré à coefficients réels. Il s'appuie sur la forme canonique et sa factorisation.

Théorème

Remarque. Si a et c sont de signe contraires alors est positif.

Exemples de résolution et exercices

Pour consulter le théorème

Remarque. Si le trinôme est donné sous forme factorisée a (x - u)(x - v), ses racines sont évidemment u et v.

Exemple 2

Pour consulter le théorème

Résoudre l'équation = 0.

Solution

Exemple 3

Pour consulter le théorème
Résoudre l'équation .

Solution

Exemples de factorisation d'un trinôme

On rappelle le résultat de factorisation du théorème . La factorisation s'obtient aussi directement depuis la forme canonique.

Pour s'exercer :

1. Factorisation simple
2. Factorisation

Somme et produit des racines

Cette page n'est pas au programme des terminales mais bien utile pourtant.

Démonstration. En développant le second membre de l'égalité : a x² + b x + c = a (x - r₁)(x - r₂), on obtient ]. Par identification, on en déduit les égalités demandées.

Exemple 2. Un champ rectangulaire a un périmètre de et une superficie de . Quelles sont ses dimensions ?
Ses dimensions L et vérifient les égalités suivantes : et . Elles sont donc solution de l'équation : dont les solutions sont L = 500 et .

Pour s'exercer :

1. Calculer la somme et le produit des racines sans les calculer.
2. Calculer la somme et le produit des racines sans les calculer.
3. Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit
4. Calculer la valeur de résistances

Interprétation graphique

Nous allons donner une interprétation graphique de la forme canonique et du théorème .

En considérant le trinôme sous sa forme canonique , on voit que la valeur minimale (si a est positif) ou maximale (si a est négatif) de y est obtenue en .

Le graphique présente la parabole d'équation y =. Dans cet exemple, le coefficient a est positif et est égal à 16.
Comme le discriminant est positif, le sommet (point vert) de la parabole, de coordonnées (0, -4), est sous la droite y = 0. Les solutions de l'équation = 0, r₁ = et r₂ =, sont les abscisses des points d'intersection (en rouge) de la parabole et de la droite y=0.

Le cas a négatif est symétrique par rapport à l'axe des x. Dans ce cas, la parabole est orientée vers le bas. Ce cas est traité dans les figures illustrant l' étude du signe du trinôme .

Pour s'exercer :

1. Orientation d'une parabole
2. Allure d'une parabole
3. Correspondance Parabole - Trinôme
4. Sommet d'une parabole
5. Nombre de points d'intersection avec l'axe des \(x\)
6. Reconnaître l'équation d'une parabole

Signe d'un trinôme

La forme factorisée du trinôme nous permet d'en étudier le signe. Nous présentons dans un tableau le signe de a x² + b x + c selon la valeur de x.

• Si le trinôme a x² + b x + c n'a pas de racine ou une racine double, on a vu dans la démonstration du théorème de résolution qu'il a même signe que le coefficient a de x². Dans le cas où le discriminant est nul, on note r la racine double .
• Si le trinôme a x² + b x + c a deux racines distinctes, son signe dépend du signe de a et de celui de chacun de ses facteurs, donc de la position de x par rapport aux racines. Dans ce cas, on appelle r' la plus petite des racines et r'' l'autre racine. Les facteurs (x - r') et (x - r'') sont de signes contraires si et seulement si x appartient à [r',r'']. Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, du signe de -a entre les racines.

Figure. Voir le signe du trinôme sur un graphique

Pour s'exercer :

1. Signe d'un trinôme avec un tableau
2. Tableau de signe à construire
3. Résolution d'inéquation à l'aide d'un tableau à construire

Illustration graphique pour l'étude du signe du trinôme

Voici un graphique pour illustrer l'étude du signe du trinôme. Les racines du trinôme sont les abscisses des points d'intersection (rouges s'ils existent) de la parabole et de l'axe des abscisses. L'ensemble des x pour lesquels le trinôme est positif (sur la représentation graphique) est dessiné en vert.

Ce graphique présente la parabole d'équation y =. Dans cet exemple, a= -3 est négatif et est égal à 12.
Comme le discriminant est positif, le trinôme change de signe aux points r₁ = et r₂ =, solutions de l'équation = 0. Il est positif entre ses deux racines.

Position d'un nombre par rapport aux racines

Cette page n'est pas au programme des terminales. C'est une application presque directe des page précédentes.

Problème. Soient a, b et c trois réels. On suppose a non nul. Considérons le trinôme du second degré en x à coefficients réels admettant deux racines r₁ et r₂. On suppose r₁ < r₂.
Soit un réel u. Nous cherchons à déterminer la position de u par rapport à r₁ et r₂ sans les calculer.

Etude. D'après l' étude du signe du trinôme , on peut affirmer que u est entre r₁ et r₂ si et seulement si la quantité a T(u) est négative.

Quand a T(u) est positive, il reste à préciser de quel côté des racines se trouve u. Notons la somme des racines comme ici . Le nombre est le milieu de l'intervalle . Si la quantité est positive, alors u est inférieur aux racines, sinon u est supérieur aux racines.

Inéquation du second degré

Problème : Soit U(x) et V(x) deux trinômes du second degré. On veut résoudre l'inéquation U(x) > V(x). On note son ensemble de solutions.

Méthode : On pose T(x) = U(x) - V(x). L'inéquation U(x) > V(x) est équivalente à l'inéquation T(x)> 0. L'ensemble est donc l'ensemble des x pour lesquels T(x) est strictement positif. Pour déterminer , il suffit donc d'étudier son signe T(x).