Les fonctions linéaires : orientation sciences et finances
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 5 exercices sur les fonctions linéaires.
L'ensemble de ses exercices aborde les notions suivantes :
- Définition d'une fonction linéaire
- Tableau de valeurs d'une fonction linéaire
- Représentation graphique d'une fonction linéaire
- Utilisation de la représentation graphique d'une fonction linéaire
Une approche pragmatique est réalisée et les thèmes suivants
sont abordés :
- sciences
- vie économique et professionnelle
Ils ont été réalisés pour une classe de 3ème
Découverte professionnelle 6 Heures.
5. Intérêt
Les intérêts simples sont donnés par la relation suivante :
I = C  t n | |
| I : Intérêt en €
C : Capital placé en €
t : Taux de placement journalier
n : Période du placement en jours
|
Un traider a joué en bourse et l'ensemble des capitaux a rapporté un montant de €.
En réalisant une lecture graphique, déterminez la durée du placement.
Au préalable, prenez soin de régler correctement la droite à l'aide des curseurs puis déplacez le point sur la droite.
Par conséquent la période est de :
jours.
Un particulier réalise les mêmes opérations boursières avec un capital de € sur une période de jours.
Déterminez le montant des intérêts:
€.
4. Douche VS Bain
La fiche technique d'une douche contient les caractéristiques suivantes : - Dimensions : Haut. 162 cm, Larg. 20 cm.
- Matière de la coque : aluminium
- Coloris : noir
- Type de mitigeur : thermostatique
- Type de commandes : 1 sélecteur de fonction 3 voies.
- Nombre de buses de massage : 48 buses
- Pomme haute : 1 jet large
- Pommeau à main : 1 jet
- Picots anti-calcaire : à base siliconée
- Type de flexible : flexible métal double agrafage 1.50 m
- Flexibles d'alimentation à l'arrière : fournis avec la colonne
- Installation : façade uniquement
- Conditions d'installation : hauteur sous plafond mini : 2.20 m.
- Pression de service mini : 2 bars.
- Pression de service maxi : 5 bars.
- Débit mini : litres/min.
- Ecart de pression maxi de 1 bar entre eau chaude et eau froide.
- Température mini d'eau chaude : 50°C.
- Garantie : 2 ans
| La fiche technique d'une baignoire contient les caractéristiques suivantes : - Matière : Acrylique
- Capacite (litres) :
- Coloris : Blanc
- Largeur (en cm) : 70.0
- Longueur (en cm) : 170.0
- Hauteur maximum (cm) : 54.0
- Hauteur minimum (cm) : 52.4
- Profondeur (cm) : 38.0
- Diamètre de la bonde (mm) : 52.0
- Emplacement du vidage : Extrémité
- Forme : Rectangulaire
- Garantie : 10 ans
|
ÉTAPE sur 5
Parmis les informations suivantes, précisez celles qui sont indispensables pour comparer les consommations d'eau d'une douche et d'un bain.
Pour la douche, il est nécessaire de connaître :
Ce paramètre dépend-il du temps? | Pour la baignoire, il est nécessaire de connaître :
Ce paramètre dépend-il du temps? |
Les données importantes sont donc récapitulées dans le tableau suivant :
| Douche | Baignoire |
| Débit | Capacité |
| L/min | L |
ÉTAPE sur 5
Calculez la quantité d'eau consommée par la douche au bout des temps suivants :
Complétez le tableau suivant:
|
|
| Temps écoulé en minutes (min) |
|
| Quantité d'eau consommée en litres (L) |
|
Conclusion : A tout temps
x , on fait correspondre une quantité d'eau :
La quantité d'eau consommée est appelée
q(x) et le temps en minutes
x.
Vous définissez ainsi une fonction linéaire et vous écrivez :
q(x)=
| Douche | Baignoire |
| Débit | Capacité |
| L/min | L |
|
|
| Temps écoulé en minutes (min) |
|
| Quantité d'eau consommée en litres (L) |
|
ÉTAPE sur 5
Placez les points A, B, C, D pour connaître la caractéristique de la fonction linéaire :
| Douche | Baignoire |
| Débit | Capacité |
| L/min | L |
|
|
| Temps écoulé en minutes (min) |
|
| Quantité d'eau consommée en litres (L) |
|
ÉTAPE sur 5
Tracez la droite passant par l'ensemble de ses points en cliquant 2 fois sur le graphique :
| Douche | Baignoire |
| Débit | Capacité |
| L/min | L |
|
|
| Temps écoulé en minutes (min) |
|
| Quantité d'eau consommée en litres (L) |
|
La représentation graphique de la quantité d'eau consommée est donc :
ÉTAPE sur 5
A l’aide du graphique, répondez aux questions suivantes :
Au bout de combien de temps la douche consomme-t-elle moins d'eau qu'un bain ?
minutes.
En prenant une douche, on souhaite consommer deux fois moins d'eau que pour un bain. Par conséquent la douche doit durer :
minutes.
2. Geolocalisation
ÉTAPE sur 10
Après avoir regardé la vidéo, Déterminez s'il existe un décalage temporel entre le son et la lumière de la foudre.
Quelle est l'information qui est transmise la plus rapidement?
En effet la lumière se déplace à la vitesse de 300 000 km/s donc elle met moins de 30 μs pour faire 10 km. Par conséquent on peut considérer que le phénomène est quasi-instantané. Par contre le son se déplace à une vitesse d'environ 340 m/s. En utilisant le décalage temporel entre la lumière et le son, on détermine la distance entre l'éclair et une personne.
ÉTAPE sur 10
| La vitesse du son dans l'air est donnée par la formule suivante : Vson dans l'air = 331,5 + 0,6 θ | | avec θ : la température de l'air en degrés Celcius °C
et Vson dans l'air : vitesse du son dans l'air en m/s
|
Lorsque l'orage a éclaté la température de l'air était de °C. La vitesse du son dans l'air est donc de
m/s.
Votre réponse précédente était erronée. Vous auriez dû réaliser le calcul suivant :
Vson dans l'air = 331,5 + 0,6
= m/s 
La multiplication est l'opération prioritaire.
La vitesse du son est donc de m/s à la température de °C.
ÉTAPE sur 10
Au même instant 3 élèves voient le même éclair mais ils entendent le tonnerre au bout d'un temps différent.
- Pierre entend le tonnerre au bout de secondes.
- Paul entend le tonnerre au bout de secondes.
- Jacques entend le tonnerre au bout de secondes.
Complétez le tableau suivant:
|
|
| Décalage entre l'éclair et le tonnerre en secondes (s) |
|
| Distance entre l'éclair et la foudre en mètres (m) |
|
Votre réponse précédente était erronée. Vous auriez dû réaliser les calcul suivants :
|
|
Décalage entre l'éclair et le tonnerre en secondes (s)
Axes des abscisses x |
|
Distance entre l'éclair et la foudre en mètres (m)
Axes des ordonnées y |
j
= |
La vitesse du son est donc de m/s à la température de °C.
Ce tableau est
un tableau de valeurs de la fonction
D.
|
|
Décalage entre l'éclair et le tonnerre en secondes (s)
Axes des abscisses x |
|
Distance entre l'éclair et la foudre en mètres (m)
Axes des ordonnées y |
|
ÉTAPE sur 10
Placez les points Pierre, Paul, Jacques en cliquant sur le graphique.
Votre réponse précédente était erronée. Travaillez le placement de points.
ÉTAPE sur 10
Conclusion :L'ensemble des points de cette fonction linéaire
est une
qui passe par l'
du repère.
Votre réponse précédente était erronée.
Conclusion :L'ensemble des points de cette fonction linéaire
est une droite qui passe par l'origine du repère.
En route vers la géolocalisation de la foudre.
ÉTAPE sur 10
- Pierre habite .
- Paul réside .
- Jacques se trouve .
Positionnez chacun des élèves sur le plan fourni ci-dessous. On pourra cliquer simultanément sur les touches Ctrl et - (touche6) pour zoomer.
La vitesse du son est donc de m/s à la température de °C.
Ce tableau est
un tableau de valeurs de la fonction
D.
|
|
Décalage entre l'éclair et le tonnerre en secondes (s)
Axes des abscisses x |
|
Distance entre l'éclair et la foudre en mètres (m)
Axes des ordonnées y |
|
ÉTAPE sur 10
A l'aide du tableau de valeurs qui donne les distances entre l'éclair et l'élève, réalisez des cercles centrés sur l'élève qui ont pour rayon la distance éclair-élève.
Dans la construction ci-dessous le cercle pour Pierre a déjà été réalisé.
Tracez les cercles de Paul et Jacques en déplaçant les points A et B. Vous pouvez lire la distance élève-éclair sur le haut du graphique.
En déplaçant le point F pour Foudre situé en haut du graphique, déterminez les coordonnées de la foudre.
F(
;
)
Soyez plus précis dans vos constructions.
La vitesse du son est donc de m/s à la température de °C.
Pinocchio entend le tonnerre au bout de s.
ÉTAPE sur 10
En déplaçant les points A et B qui se trouvent sur le graphique, déterminez la distance entre Pinocchio est l'éclair.
Complétez le tableau suivant :
|
|
Décalage entre l'éclair et le tonnerre en secondes (s)
Axes des abscisses x |
|
|
Distance entre l'éclair et la foudre en mètres (m)
Axes des ordonnées y |
|
|
Soyez plus précis dans vos constructions.
La vitesse du son est donc de m/s à la température de °C.
Pinocchio entend le tonnerre au bout de s à une ditance de m.
Ce tableau est
un tableau de valeurs de la fonction
D.
|
|
Décalage entre l'éclair et le tonnerre en secondes (s)
Axes des abscisses x |
|
|
Distance entre l'éclair et la foudre en mètres (m)
Axes des ordonnées y |
|
|
ÉTAPE sur 10
Placez le point en cliquant sur le graphique.
Votre réponse précédente était erronée. Retournez travail sur la feuille travail sur le placement de points.
La vitesse du son est donc de m/s à la température de °C.
Pinocchio entend le tonnerre au bout de s à une ditance de m.
Ce tableau est
un tableau de valeurs de la fonction
D.
|
|
Décalage entre l'éclair et le tonnerre en secondes (s)
Axes des abscisses x |
|
|
Distance entre l'éclair et la foudre en mètres (m)
Axes des ordonnées y |
|
|
ÉTAPE sur 10
Le point est-il sur la droite ?
Pinocchio certifie qu'il a vu le même éclair que Pierre, Paul, Jacques. A-t-il menti?
Est-ce-que son nez, c'est allongé?
Si oui de combien de cm?
1. Système solaire
ÉTAPE sur 3
Classez les planètes du système solaire de la plus du soleil à la plus :
Votre réponse précédente est erronée.
On peut se souvenir de l'ensemble des noms des planètes à l'aide de la phrase suivante :
Mon Vieux Taureau M'a Jeté Sur Un Nuage.
On constate que Pluton a été déclassé comme planète pour passer en objet plutoïde. (un gros astéroïde)
ÉTAPE sur 3
On se trouve actuellement sur . A l'aide des indications qui se trouvent en bas de la première image, déterminez la distance entre le soleil et cette planète.
La distance entre et le soleil est de
ua.
Cette distance est donnée en unité astronomique (ua) qui correspond à la distance entre la TERRE et le SOLEIL.
Une unité astronomique 1 ua est égale à 150 millions de kilomètres.
En conmplétant le tableau de proportionnalité ci-dessous, convertissez la distance en km.
| 1 ua | mesure | 150 millions de km |
|
| |
|
Par conséquent la distance en millions de km a pour valeur
.
Votre réponse précédente est erronée.
Votre réponse précédente est juste.
ÉTAPE sur 3
La distance entre et le soleil est de millions de km.
La vitesse de la lumière est de 300 000 km/s. Par conséquent on définit
une fonction linéaire : d(t)= t On réalise donc le graphique ci-dessous qui représente la distance parcourue en fonction du temps.
Déplacez les flèches de lecture en haut du graphique pour déterminer le temps mis par la lumière pour aller sur .
Le temps est donc de
.
Par conséquent le temps est d'environ
et de
.
Par conséquent le temps est de
et de
.
3. Voiture
ÉTAPE sur 13
- La voiture roule pendant une heure. Calculez la distance parcourue ?
Km.
- La voiture roule pendant 2 heures. Calculez la distance parcourue ?
Km.
- La voiture roule pendant 5 heures. Calculez la distance parcourue ?
Km.
ÉTAPE sur 13
La voiture roule pendant
x heures. Donnez l'expression littérale de la distance parcourue
D(x) par la Ferrari en complétant les calculs suivants.
Vous venez de réaliser les calculs suivants :
| 1 | | | = | |
| 2 | | | = | |
| 5 | | | = | |
| ↓ | | ↓ | | ↓ |
|
| |
| = |
|
| ↓ | | ↓ | | ↓ |
|
| |
| = |
|
Conclusion : A tout temps
x , on fait correspondre une distance de valeur :
. Vous définissez ainsi une fonction linéaire et vous écrivez :
D(x)=
Les calculs suivants ont été réalisés:
| La fonction linéaire est définie par :
| | est le coefficient de proportionnalité de la fonction linéaire.
Le nombre x est appelé variable.
Le nombre D(x) est appelé image du nombre x par la fonction D.
|
ÉTAPE sur 13
Complétez le tableau suivant à l’aide des calculs précédents :
|
|
| Temps du trajet x en heures |
j |
| Distance parcourue D(x) en kilomètres |
|
Ce tableau est
un tableau de valeurs de la fonction
D.
|
|
| Temps du trajet x en heures |
j |
| Distance parcourue D(x) en kilomètres |
|
ÉTAPE sur 13
Dans un graphique vous devez donc placez les points dont les coordonnées sont les suivantes :
Ce tableau est
un tableau de valeurs de la fonction
D.
|
|
| Temps du trajet x en heures |
j |
| Distance parcourue D(x) en kilomètres |
|
Les points ont donc pour coordonnées :
ÉTAPE sur 13
Cliquez sur la forme du graphique que vous souhaitez utiliser en fonction des points à placer :
Ce tableau est
un tableau de valeurs de la fonction
D.
|
|
| Temps du trajet x en heures |
j |
| Distance parcourue D(x) en kilomètres |
|
Les points ont donc pour coordonnées :
ÉTAPE sur 13
On souhaite réaliser la représentation graphique de cette fonction linéaire dans un repère orthogonal d'origine 0, où :
- 1 cm représente 1 heure en abscisse.
- 1 cm représente 100 km en ordonnée.
1ère ÉTAPE : Placez les axes et les échelles sur le graphique.
Ce tableau est
un tableau de valeurs de la fonction
D.
|
|
| Temps du trajet x en heures |
j |
| Distance parcourue D(x) en kilomètres |
|
Les points ont donc pour coordonnées :
ÉTAPE sur 13
2ème ÉTAPE : Graduez les axes et déterminez la valeur d'un mm.
Ce tableau est
un tableau de valeurs de la fonction
D.
|
|
| Temps du trajet x en heures |
j |
| Distance parcourue D(x) en kilomètres |
|
Les points ont donc pour coordonnées :
ÉTAPE sur 13
3ème ÉTAPE : Placez les points , en cliquant sur le graphique.
ÉTAPE sur 13
Conclusion : L'ensemble des points de cette fonction linéaire
est une
qui passe par l'
du repère.
ÉTAPE sur 13
Interprétation graphique : Vous devez construire la première flèche de lecture sur le graphique pour pouvoir répondre à la question.
Le premier clic correspond au début de la flèche, le second à la fin.
ÉTAPE sur 13
Interprétation graphique : Vous devez construire la deuxième flèche de lecture sur le graphique pour pouvoir répondre à la question.
Le premier clic correspond au début de la flèche, le second à la fin.
ÉTAPE sur 13
Interprétation graphique : Le temps nécessaire à la Ferrari pour parcourir la distance Dijon Paris est de
H.
ÉTAPE sur 13
Le temps nécessaire à la Ferrari pour parcourir la distance Dijon Paris est de H donc
H et
minutes.
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Description: le but des exercices est de réaliser la représentation graphique une fonction linéaire à partir d'une problématique. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra, fonction, linéaire
